tìm n

[nhocdangyeu789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. [TEX]n.2^n+1[/TEX] chia hết cho 3
2.[TEX] 2^{2n}+2^n +1 [/TEX]chia hết cho 21

 

[kool_boy_98]

1. Ta có: $n.2^n + 1 \vdots 3$ \Leftrightarrow $n.2^n+ 1$ là bội của 3 \Rightarrow $(n.2^n+1) : 3 = k$ ($k \in N*$)

Tại k = 1 \Rightarrow $n.2^n+1=3$ \Rightarrow $n=1$
Tại k=2 \Rightarrow $n.2^n+1=6$ Không thỏa mãn (Loại)
Tại k=3 \Rightarrow $n.2^n+1=9$ \Rightarrow $n=3$
......

2. Tương tự câu 1.

Ta có: $(2^{2n} + 2^n + 1) : 21 = k$ ($k \in N*$)

Tại k =1 \Rightarrow $(2^{2n} + 2^n + 1) = 21$ \Leftrightarrow $2^n.(2^2+1) +1=21$ \Leftrightarrow $2^n.5 = 20$ \Leftrightarrow $n=2$
.....

Làm thế này thì đến bao giơ mới có kết quả nhỉ?

 

[harrypham]

Nếu không tìm được kết quả chính xác thì ta đi tìm kết quả cho trường hợp tổng quát thôi anh

a) Ta có $n.2^n+1$ chia hết cho $3$.
Xét

1. Nếu $n=6k \implies 6k.2^{6k}+1$ chia $3$ dư $1$. (loại)
   
2. Nếu $n=6k+1 \implies (6k+1).2^{6k+1}+1=6k.2^{6k+1}+2^{6k+1}+1$.
   Nhận thấy $6k.2^{6k+1} \ \vdots 3$, $1$ chia 3 dư $1$, $2^{6k+1}=2^{6k}.2=64^k.2$ có $64 \equiv 1 \pmod{3} \implies 64^k.2 \equiv 2 \pmod{3}$. Do đó $(6k+1).2^{6k+1}+1 \equiv 0+1+2 \equiv 0 \pmod{3}$.
   
3. Nếu $n=6k+2 \implies (6k+2).2^{6k+2}+1=6k.2^{6k+2}+2.2^{6k+2}+1$. Ta có $6k.2^{6k+2} \equiv 0 \pmod{3}, \; \; 1 \equiv 1 \pmod{3}, \; \; 2.2^{6k+2}=2.64^k.4=8.64^k \equiv 2 \pmod{3}$ nên $(6k+2).2^{6k+2}+1 \equiv 2+1+0 \equiv 0 \pmod{3}$.
4. Nếu $n=6k+3 \implies (6k+3).2^{6k+3}+1$ chia 3 dư 1. (loại)
5. Nếu $n=6k+4=6k+3+1 \implies (6k+3+1).2^{6k+4}+1=(6k+3).2^{6k+4}+2^{6k+4}+1$. Ta có $(6k+3).2^{6k+4} \equiv 0 \pmod{3}, \; 1 \equiv 1 \pmod{3}, \; 2^{6k+4}=64^k.16 \equiv 1 \pmod{3}$. Do đó $(6k+3+1).2^{6k+4}+1 \equiv 1+1+0 \equiv 2 \pmod{3}$. (loại)
6. Nếu $n=6k+5=6k+3+2 \implies (6k+3+2).2^{6k+5}+1=(6k+3).2^{6k+5}+2.2^{6k+5}+1$. Ta có $(6k+3).2^{6k+5} \equiv 0 \pmod{3}, \; 1 \equiv 1 \pmod{3}, \; 2.2^{6k+5}=2.64^k.32=64^{k+1} \equiv 1 \pmod{3}$. Do đó $(6k+3+2).2^{6k+5}+1 \equiv 1+1+0 \equiv 2 \pmod{3}$. (loại)

Kết luận. Ta tìm được $\boxed{n \in \{ 6k+1,6k+2 \}}$