Đặt M= [tex]n^4+4^{2k+1}[/tex]
+) Với n chẵn thì [tex]n^4\vdots 2[/tex] mà ta cũng có [tex]4^{2k+1}\vdots 2[/tex] và [tex]4^{2k+1}> 2 \forall k \epsilon \mathbb{N}[/tex]
Nên M là hợp số => M không phải là số nguyên tố
+)Với n lẻ:
a) Xét n=1 và k=0 thì M=5 là số nguyên tố (chọn)
b) Xét [tex]n\geq 1,k\geq 1[/tex]
Ta có M= [tex]n^4+4^{2k+1}=(n^2)^2+2.n^2.2^{2k+1}+(2^{2k+1})^2-(n.2^{k+1})^2=(n^2+2^{2k+1})^2-(n.2^{k+1})^2=(n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1})(n^2+2^{2k+1}n.2^{k+1})[/tex]
mà [tex] n^2+2^{2k+1}n.2^{k+1}[/tex] nguyên dương >1 (1)
Mặt khác ta cũng có: [tex]n^2+2^{2k+1}\geq 2\sqrt{n^2.2^{2k+1}}=2n.2^k.\sqrt{2} \Rightarrow n^2+2^{2k+1} -n.2^{k+1}\geq 2n.2^k.\sqrt{2}-n.2^{k+1}[/tex][tex]=n.2^{k+1}\sqrt{2}-n.2^{k+1}=n.2^{k+1}(\sqrt{2}-1)> 1[/tex]
=> [tex]n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}[/tex] nguyên dương >1 (2)
Từ (1) (2) ta có M là hợp số (loại)
Vậy chỉ có n=1,k=1
(Bài này căng quá :'<)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
