Toán 11 tìm n trong khai triển

[Luong_helen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm n , biết:
[tex]C[/tex] [tex]1\choose 2n+1[/tex]+[tex]2C[/tex][tex]\binom{2}{2n+1}[/tex]+[tex]3C[/tex][tex]\binom{3}{2n+1}[/tex][tex]+...+kC[/tex][tex]\binom{k}{2n+1}[/tex][tex]+...+(2n+1)C[/tex][tex]\binom{2n+1}{2n+1}[/tex] [tex]=21.2^{20}[/tex]

 

[iceghost]

Bạn có thể dùng $k \cdot C_{2n+1}^k = \dfrac{k \cdot (2n+1)!}{(2n+1 - k)! k!} = \dfrac{(2n)! \cdot (2n+1)}{(2n - (k-1))! (k-1)!} = (2n+1) C_{2n}^{k-1}$...
Sau đó cộng lại thu được $VT = (2n+1) 2^{2n}$
Nếu $n > 10$ thì $VT > 21 \cdot 2^{20}$
Nếu $n = 10$ thì $VT = 21 \cdot 2^{20}$
Nếu $0 \leqslant n < 10$ thì $VT < 21 \cdot 2^{20}$
Vậy $n = 10$


Ngoài lề: Chỗ biến đổi còn có thể nhìn như sau:
+ Biểu thức bên VT là tổng số cách chọn một đội tùy ý từ $2n+1$ người và sau đó chọn ra 1 đội trưởng
+ Ta có thể thực hiện bằng cách khác: chọn ra 1 đội trưởng từ $2n+1$ người và với $2n$ người còn lại, mỗi người có thể chọn gia nhập đội hay không gia nhập đội. Tổng có $(2n+1) \cdot 2^{2n}$ cách
+ Vậy $VT = (2n+1) \cdot 2^{2n}$ cách

 

[Ngoc Anhs]

tìm n , biết:
[tex]C[/tex] [tex]1\choose 2n+1[/tex]+[tex]2C[/tex][tex]\binom{2}{2n+1}[/tex]+[tex]3C[/tex][tex]\binom{3}{2n+1}[/tex][tex]+...+kC[/tex][tex]\binom{k}{2n+1}[/tex][tex]+...+(2n+1)C[/tex][tex]\binom{2n+1}{2n+1}[/tex] [tex]=21.2^{20}[/tex]

Cách khác:
Xét khai triển:
[tex](1+x)^{2n+1}=C_{2n+1}^{0}+xC_{2n+1}^{1}+x^2C_{2n+1}^{2}+x^3C_{2n+1}^{3}+...+x^{2n+1}C_{2n+1}^{2n+1}[/tex]
Đạo hàm bậc 1 ta được:
[tex](2n+1)(1+x)^{2n}=1.x^0.C_{1}^{2n+1}+2.x.C_{2n+1}^{2}+3.x^2.C_{3}^{2n+1}+...+(2n+1).x^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1}[/tex]
Với $x=1$ [tex]\Rightarrow C_{2n+1}^{1}+2C_{2n+1}^{2}+3C_{2n+1}^{3}+...+(2n+1)C_{2n+1}^{2n+1}=(2n+1).2^{2n}=21.2^{20} \\ \Rightarrow n=10[/tex]