Toán 9 Tìm n thỏa mãn

[nguyenduykhanhxt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương và 2n+9 là số nguyên tố!!!
Giúp mk với ạ: @Mộc Nhãn ,@TranPhuong27

 

[7 1 2 5]

Ta có: 2n+1 là số chính phương lẻ nên [TEX]2n+1 \equiv 1(mod 8) \Rightarrow n \vdots 4[/TEX]
Vì [TEX]2n+1 \equiv 1(mod2) \Rightarrow 3n+1 \equiv n+1 \equiv 1(mod2)[/TEX]
Mà 3n+1 là số chính phương nên [TEX]3n+1 \equiv 1(mod8) \Rightarrow n \vdots 8[/TEX]
Vì 2n+1 và 3n+1 là số chính phương nên chia 5 dư 0,1,4. Xét đồng dư ta thấy chỉ n chia hết cho 5 thỏa mãn.
Từ đó [TEX]n \vdots 40[/TEX].
Đặt $$2n+1=a^2,3n+1=b^2\Rightarrow 2n+9=25(2n+1)-16(3n+1)=25a^2-16b^2=(5a-4b)(5a+4b)$$
Vì $$5a+4b> 5a-4b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5a+4b=2n+9=80k+9\\ 5a-4b=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=8k+1\\ b=10k+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2n+1=a^2=(8k+1)^2=80k+1\Rightarrow 64k^2-64k=0\Rightarrow k=0 hoặc k=1\Rightarrow k=1\Rightarrow n=40$$

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương và 2n+9 là số nguyên tố!!!
Giúp mk với ạ: @Mộc Nhãn ,@TranPhuong27

$$2n+9=25(2n+1)-16(3n+1)=25x^{2}-16y^{2}=(5x-4y)(5x+4y)$$
Vì $2n+9$ là số nguyên tố $=>$ $$\left\{\begin{matrix} 5x+4y=2n+9 & & \\ 5x-4y=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ....$$