Tìm n là số tự nhiên TM n^4+4n^3+7n^2+6n+3 là lập phương đúng
$n^4+4n^3+7n^2+6n+3 \\
= n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 + n^2 + 2n + 2 \\
= (n+1)^4 + (n+1)^2 + 1 \\
= [(n+1)^2 + 1]^2 -(n+1)^2 \\
= (n^2 +3n +3)(n^2 + n +1) = k^3$
Xét $n = 0$ : không thỏa mãn
Xét $n > 0$:
Gọi d là ước chung lớn nhất của $n^2 + 3n +3$ và $n^2 + n+1$
Ta có: $n^2 + 3n +3 \vdots d$
$n^2 + n+1 \vdots d$ (2)
Suy ra: $2n + 2 \vdots d \iff 2(n+1) \vdots d$
Xét với n lẻ và n chẵn thì $n^2 + 3n + 3$ luôn là số lẻ nên $d \neq 2$
Suy ra: $n +1 \vdots d$ (4)
$\iff n^2 + 2n + 1 \vdots d$ (3)
Từ (2) và (3) có: $n \vdots d$ (5)
Từ (4) và (5) có: $1 \vdots d$
Suy ra $d = 1$
Hay $n^2 + 3n +3$ và $n^2 + n+1$ nguyên tố cùng nhau
Suy ra: không tồn tại n thỏa mãn
Ngoài ra em tham khảo kiến thức tại topic này nha:
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
