Đặt [imath]n=\dfrac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},(a,b)=1)[/imath] thì [imath]\dfrac{n+3}{n+79}=\dfrac{\dfrac{a}{b}+3}{\dfrac{a}{b}+79}=\dfrac{a+3b}{a+79b}[/imath]
Đặt [imath]d=(a+3b,a+79b)[/imath] thì [imath]76b \vdots d[/imath]
Nếu [imath](d,76)=1 \Rightarrow b \vdots d \Rightarrow a \vdots d \Rightarrow d=1[/imath]
Vậy ta có [imath]d \in \lbrace{ 1,2,4,19,38,76 \rbrace}[/imath]
Ta lại có [imath]a+3b=dx^3,a+79b=dy^3(x,y \in \mathbb{Z}, (x,y)=1)[/imath]
[imath]\Rightarrow d(x^3-y^3)=76b[/imath]
[imath]\Rightarrow x^3-y^3=\dfrac{76}{d}b[/imath]
[imath]\Rightarrow b=\dfrac{x^3-y^3}{76} \cdot d[/imath]
[imath]\Rightarrow a=d(x^3-\dfrac{3(x^3-y^3)}{76})=d \cdot \dfrac{73x^3+3y^3}{76}[/imath]
[imath]\Rightarrow n=\dfrac{a}{b}=\dfrac{73x^3+3y^3}{x^3-y^3} \forall x,y \in \mathbb{N},x \neq y[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
