Toán 9 Tìm n để d là số chính phương

[Lê Tự Đông]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy $d_{1},d_{2},.....,d_{k},.....$ với $d_{n}=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{n}+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n}$ là một số tự nhiên. Tìm tất cả giá trị của n để $d_{n}$ là số chính phương

 

[7 1 2 5]

[tex]d_n=(\frac{6+2\sqrt{5}}{4})^n+(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})^n=(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2n}+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2n}=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]^2-2[/tex]
Ta sẽ chứng minh [TEX](\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n[/TEX] luôn nguyên.
Đặt [tex]\frac{\sqrt{5}+1}{2}=a,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=b,x_n=a^n+b^n[/tex]
Ta có: [tex]x_1=3,x_2=6[/tex],[tex]x_n=a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2})=3x_{n-1}-x_{n-2}[/tex]
Giả sử [TEX]x_{n-1},x_{n-2} \in \mathbb{Z}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Theo nguyên lí quy nạp thì với mọi [TEX]n \in \mathbb{N}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Từ đó [TEX]d_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Đặt [tex]d_n=k^2\Rightarrow k^2=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2-k^2=2[/tex]
Lập bảng ước số với [TEX]k,x_n > 0[/TEX] ta có vô nghiệm. Vậy không tồn tại n thỏa mãn.

 

[Wweee]

[tex]d_n=(\frac{6+2\sqrt{5}}{4})^n+(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})^n=(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2n}+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2n}=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]^2-2[/tex]
Ta sẽ chứng minh [TEX](\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n[/TEX] luôn nguyên.
Đặt [tex]\frac{\sqrt{5}+1}{2}=a,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=b,x_n=a^n+b^n[/tex]
Ta có: [tex]x_1=3,x_2=6[/tex],[tex]x_n=a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2})=3x_{n-1}-x_{n-2}[/tex]
Giả sử [TEX]x_{n-1},x_{n-2} \in \mathbb{Z}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Theo nguyên lí quy nạp thì với mọi [TEX]n \in \mathbb{N}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Từ đó [TEX]d_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Đặt [tex]d_n=k^2\Rightarrow k^2=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2-k^2=2[/tex]
Lập bảng ước số với [TEX]k,x_n > 0[/TEX] ta có vô nghiệm. Vậy không tồn tại n thỏa mãn.

Bạn ơi bạn xây dựng cái công thức [tex]x_n=a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2})=3x_{n-1}-x_{n-2}[/tex] như thế nào vậy á ???

 

[Lê Tự Đông]

[tex]d_n=(\frac{6+2\sqrt{5}}{4})^n+(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})^n=(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2n}+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2n}=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]^2-2[/tex]
Ta sẽ chứng minh [TEX](\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n[/TEX] luôn nguyên.
Đặt [tex]\frac{\sqrt{5}+1}{2}=a,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=b,x_n=a^n+b^n[/tex]
Ta có: [tex]x_1=3,x_2=6[/tex],[tex]x_n=a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2})=3x_{n-1}-x_{n-2}[/tex]
Giả sử [TEX]x_{n-1},x_{n-2} \in \mathbb{Z}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Theo nguyên lí quy nạp thì với mọi [TEX]n \in \mathbb{N}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Từ đó [TEX]d_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Đặt [tex]d_n=k^2\Rightarrow k^2=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2-k^2=2[/tex]
Lập bảng ước số với [TEX]k,x_n > 0[/TEX] ta có vô nghiệm. Vậy không tồn tại n thỏa mãn.

[tex]d_n=(\frac{6+2\sqrt{5}}{4})^n+(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})^n=(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2n}+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2n}=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]^2-2[/tex]
Ta sẽ chứng minh [TEX](\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n[/TEX] luôn nguyên.
Đặt [tex]\frac{\sqrt{5}+1}{2}=a,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=b,x_n=a^n+b^n[/tex]
Ta có: [tex]x_1=3,x_2=6[/tex],[tex]x_n=a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2})=3x_{n-1}-x_{n-2}[/tex]
Giả sử [TEX]x_{n-1},x_{n-2} \in \mathbb{Z}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Theo nguyên lí quy nạp thì với mọi [TEX]n \in \mathbb{N}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Từ đó [TEX]d_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Đặt [tex]d_n=k^2\Rightarrow k^2=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2-k^2=2[/tex]
Lập bảng ước số với [TEX]k,x_n > 0[/TEX] ta có vô nghiệm. Vậy không tồn tại n thỏa mãn.

$x_{1}=\sqrt{5}$ chứ anh?

 

[7 1 2 5]

Nhầm lẫn
Biến đổi [tex]d_n=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]^2-2.(-1)^n[/tex]
Đặt [tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}=a,\frac{1-\sqrt{5}}{2}=b,x_n=a^n+b^n\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1\\ ab=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có: [tex]x_n=(a+b)x_{n-1}+abx_{n-2}=x_{n-1}-x_{n-2}[/tex]
Vì [TEX]x_1,x_2[/TEX] nguyên nên theo nguyên lí quy nạp ta có [TEX]x_n[/TEX] nguyên.
Bây giờ xét n chẵn, n lẻ rồi xét phương trình ước số thôi.