[tex]d_n=(\frac{6+2\sqrt{5}}{4})^n+(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})^n=(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{2n}+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2n}=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]^2-2[/tex]
Ta sẽ chứng minh [TEX](\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n[/TEX] luôn nguyên.
Đặt [tex]\frac{\sqrt{5}+1}{2}=a,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=b,x_n=a^n+b^n[/tex]
Ta có: [tex]x_1=3,x_2=6[/tex],[tex]x_n=a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2})=3x_{n-1}-x_{n-2}[/tex]
Giả sử [TEX]x_{n-1},x_{n-2} \in \mathbb{Z}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Theo nguyên lí quy nạp thì với mọi [TEX]n \in \mathbb{N}[/TEX] thì [TEX]x_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Từ đó [TEX]d_n \in \mathbb{Z}[/TEX]
Đặt [tex]d_n=k^2\Rightarrow k^2=x_n^2-2\Rightarrow x_n^2-k^2=2[/tex]
Lập bảng ước số với [TEX]k,x_n > 0[/TEX] ta có vô nghiệm. Vậy không tồn tại n thỏa mãn.