Tìm n để các số sau là số chính phương

H

harrypham

yellow05010501 said:
Tìm n thuộc N để các số sau là số chính phương:
a) $9+2^n$ b) $3^n+9$ c) $n^4+2n^3+2n^2+n+7$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

a, Nếu [TEX]n[/TEX] lẻ, đặt [TEX]n=2k+1[/TEX].
Khi đó [TEX]pt \Leftrightarrow 9+4^k.2[/TEX]. Ta thấy [TEX]9 \equiv 0 \pmod{3},4^k+2 \equiv 2 \pmod{3}[/TEX] nên [TEX]9+4^k.2 \equiv 2 \pmod{3}[/TEX] không thể là số chính phương.
Vậy [TEX]a[/TEX] chẵn. Đặt [TEX]a=2k,9+2^n=q^2[/TEX].
Ta có [TEX](2^k)^2+9=q^2 \Rightarrow (q-2^k)(q+2^k)=9[/TEX].
Xét để tìm tiếp.

c, Giới hạn [TEX](n^2+n)^2<n^4+2n^3+2n^2+n+7<(n^2+n+3)^2[/TEX].
[TEX]\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n+1)^2 \\ n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n+2)^2 \end{array} \right.[/TEX]
Đến đây dễ tìm được [TEX]n[/TEX].
 
  • Like
Reactions: Hà Kiều Chinh
Y

yellow05010501

harrypham said:
a, Nếu [TEX]n[/TEX] lẻ, đặt [TEX]n=2k+1[/TEX].
Khi đó [TEX]pt \Leftrightarrow 9+4^k.2[/TEX]. Ta thấy [TEX]9 \equiv 0 \pmod{3},4^k+2 \equiv 2 \pmod{3}[/TEX] nên [TEX]9+4^k.2 \equiv 2 \pmod{3}[/TEX] không thể là số chính phương.
Vậy [TEX]a[/TEX] chẵn. Đặt [TEX]a=2k,9+2^n=q^2[/TEX].
Ta có [TEX](2^k)^2+9=q^2 \Rightarrow (q-2^k)(q+2^k)=9[/TEX].
Xét để tìm tiếp.

c, Giới hạn [TEX](n^2+n)^2<n^4+2n^3+2n^2+n+7<(n^2+n+3)^2[/TEX].
[TEX]\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n+1)^2 \\ n^4+2n^3+2n^2+n+7=(n^2+n+2)^2 \end{array} \right.[/TEX]
Đến đây dễ tìm được [TEX]n[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Thế còn câu b bạn, câu b thì mod mấy? Cũng xét tính chẵn lẻ ak?
 
H

harrypham

yellow05010501 said:
Thế còn câu b bạn, câu b thì mod mấy? Cũng xét tính chẵn lẻ ak?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Câu b khó mà xét tính chẵn lẻ được.
Thôi thì ta làm thế này: Đặt [TEX]3^n+9=a^2 \Rightarrow (a-3)(a+3)=3^n[/TEX].
Khi đó [TEX]a-3=2^p,a+3=3^d[/TEX].
Lại có [TEX](a+3)-(a-3)=6 \Rightarrow 3^d-3^p=6 \Rightarrow 3^p(3^{d-p}-1)=6[/TEX].
Đến đây tìm [TEX]d,p[/TEX] rồi tìm [TEX]n[/TEX].
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom