Toán 9 Tìm min

[MaiChi Nguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y,z>1$. Tìm min
$A=x^2\Big(\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{1}{z-1}\Big)+y^2\Big(\dfrac{1}{z-1}+\dfrac{1}{x-1}\Big)+z^2\Big(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}\Big)$

 

[Alice_www]

Cho x,y,z>1. Tìm min
A= x^2(1/ y-1 + 1/ z-1) + y^2(1/ z-1 +1/x-1 ) +z^2(1/ x-1 +1/y-1 )

$A=x^2(\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{1}{z-1})+y^2(\dfrac{1}{z-1}+\dfrac{1}{x-1})+z^2(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1})$
Ta có $\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{1}{z-1}\ge \dfrac{4}{y+z-2}$
Suy ra $A\ge \dfrac{4x^2}{y+z-2}+\dfrac{4y^2}{z+x-2}+\dfrac{4z^2}{x+y-2}\ge \dfrac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)-6}=\dfrac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)-3}$
Đặt $t=x+y+z\: (t>3)$
Ta có $A\ge \dfrac{2t^2}{t-3}=\dfrac{2t^2-18+18}{t-3}=2(t+3)+\dfrac{18}{t-3}$
$=2(t-3)+\dfrac{18}{t-3}+12\ge 24$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x+y+z=6\\x=y=z\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=y=z=2$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm ở topic này để ôn thi học kì nhé <3
https://diendan.hocmai.vn/threads/tong-hop-topic-on-thi-hoc-ki.841342/