Toán 9 tìm min

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn xyz=1
Tìm GTNN của [tex]E=\frac{1}{x^{3}(z+y)}+\frac{1}{y^{3}(z+x)}+\frac{1}{z^{3}(x+y)}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

[tex]E=\frac{1}{x^3(z+y)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}\\ E=\frac{xyz}{x^3(y+z)}+\frac{xyz}{y^3(z+x)}+\frac{xyz}{z^3(x+y)}\\ E=\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{xz}{y^2(x+z)}+\frac{xy}{z^2(x+y)}\\[/tex]
Mà: [tex]\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{x^2(y+z)}.\frac{y+z}{4yz}}=\frac{1}{x}\\ \Rightarrow \frac{yz}{x^2(y+z)}\geq \frac{1}{x}-\frac{1}{4y}-\frac{1}{4z}[/tex]
(Bất đẳng thức AM - GM)
Chứng minh tương tự với hai phân thức còn lại, ta có:
[tex]E\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-(\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})>=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

 

[arrival to earth]

đặt a=[tex]\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z} \rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1 \rightarrow x+y=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{z}.\frac{x+y}{xy}=c.(a+b)[/tex]
tương tự y+z=a(b+c); z+x=b(c+a)
[tex]\Rightarrow E=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+c}[/tex]
đến đây trở về bài toán quen thuộc rồi nhé