Toán TÌM MIN

[Lạp Hộ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z dương thỏa :
[tex]\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1[/tex]
Tìm min :
[tex]\frac{x^{2}y^{2}}{z\left ( x^{2} +y^{2}\right )}+\frac{z^{2}y^{2}}{x\left ( z^{2} +y^{2}\right )}+\frac{x^{2}z^{2}}{y\left ( x^{2} +z^{2}\right )}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Ta có: $P=\sum \dfrac{1}{x(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2})}$

Đặt:$(\dfrac{1}{x}; \dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z})=(a,b,c)$

Khi đó: $P=\sum \dfrac{a}{b^2+c^2}=\sum \dfrac{a}{3-a^2}$

Ta chứng minh: $\dfrac{x}{3-x^2} \geqslant \dfrac{1}{2}x^2$

$\iff \dfrac{(x-1)^2.x.(x+2)}{2.(3-x^2)} \geqslant 0$ (BĐT này luôn đúng)

Do đó: $ P\geqslant \dfrac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra: $\iff x=y=z=1 \square$
Theo lời giải của bạn @Hoàng Quốc Khánh