[tex] f(x;y)=x+\frac{1}{xy(x-y)}[/tex]\geq[TEX]\frac{2}{\sqrt{y(x-y)}}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{4}{x}[/TEX]
= xay ra khi
{x=[TEX]\frac{1}{xy(x-y)}[/TEX]
{y=x-y
\Leftrightarrowxy=1
2y=x
ta có:[TEX]2/3y +2/3(x-y) \geq [/TEX][TEX]{4/3\sqrt{y(x-y)}}[/TEX]
[TEX]1/3 x+\frac{1}{xy(x-y)}[/TEX]\geq[TEX]\frac{2}{\sqrt{3y(x-y)}}[/TEX]
\Rightarrow[tex] f(x;y)=x+\frac{1}{xy(x-y)}[/tex]\geq2([TEX]{2/3\sqrt{y(x-y)}}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{\sqrt{3y(x-y)}}[/TEX])\geq[TEX]{2\sqrt{2/3 .sqrt{1/3})}}[/TEX]
\Rightarrowminf(x,y)=[TEX]{2\sqrt{2/3 .sqrt{1/3})}}[/TEX] đạt đc khi:y=x-y và [TEX]x^2y(x-y)=3[/TEX]và [TEX]{2/3\sqrt{y(x-y)}}[/TEX]= [TEX]\frac{1}{\sqrt{3y(x-y)}}[/TEX] giải hệ trên ta tìm đc [TEX]y^2= sqrt{3/4}[/TEX]\Rightarrow[TEX]x^2=sqrt{12}[/TEX]
các bạn lưu ý số 2/3 ko pải đoán mò mà ra đâu.Có phương pháp hẳn hoi đó!Các bạn bạn thử tìm tòi phương pháp đó là gì nhé!
bài toán tương tự:tìm min của [tex] f(x;y)=2x+\frac{1}{xy(x-y)}[/tex]biết x>y>0(gợi ý:tách 2x=(4/3)x +(2/3)x rồi làm như trên!)
trả lời cho câu hỏi tại sao lại chọn 2/3 trong bài giải của mình là:trước hết làm bất kì bài toán nào các bạn cần có những nhận xét nó sẽ giúp bạn tư duy một cách linh hoat hơn!
nhận xét : x,y, x-y>0\Rightarrowđịnh hướng là dùng côsi.
cách tách :[tex] f(x;y)=x+\frac{1}{xy(x-y)}[/tex][tex] =x/2+(x-y)/2+y/2+\frac{1}{xy(x-y)}[/tex].ta thấy cách tách này nếu dùng côsi sẽ làm mất hết x,y nhưng rất tiếc dấu bằng ko xảy ra \Rightarrow thất bại!
nhưng nếu bây giờ ta tách :[tex] f(x;y)=x+\frac{1}{xy(x-y)}[/tex][tex]=(1-k)x+\frac{1}{xy(x-y)}+k(x-y) +ky[/tex]đến đây ta dùng côsi cho 2 cặp[tex](1-k)x,\frac{1}{xy(x-y)}[/tex]và[tex]k(x-y),ky[/tex]từ đó dựa vào dấu bằng xảy ra ở các bdt mà tìm k(0<k<1).các bạn tự làm tiếp nhé!cuối cùng các bạn sẽ tìm đc pt ẩn k:[TEX]4(1-k)^2 =k^2[/TEX]\Leftrightarrow k=2/3hoặc k=2!vì 0<k<1\Rightarrow chọn k=2/3!đấy các bạn thấy nhận xét là rất quan trọng trong giải toán và đặc biệt là những bài toán khó!chúc các bạn tìm thấyniềm vui trong học tập!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn