tim min

D

dien0709

Cho $ x,y $ > 0,tìm $ min_{x+y} $ biết $ \sqrt[]{xy}(x - y) = x + y $ (*)

(*)=> $ xy(x - y)^2 = (x + y)^2 $ => $ x^2 + y^2 +2xy = xy( x^2 + y^2 - 2xy ) $

=> $ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} +2 = xy( \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} -2 ) $ (**)

Đặt $ t = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} $ => t > 2 và $ xy = \dfrac{(x + y)^2}{t+2} $

(**) => $ (x + y)^2 = f(t) = \dfrac{t^2 + 4t + 4}{t - 2} $

Khảo sát f(t) ta thấy với t > 2 hàm có 1 cực tiểu tại $ t = 6 $ => $ f(6) = 16 $

Vậy $ min_{x + y} = 4 $ có thể tìm x,y với hệ

$ \left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 6 & \\ x + y = 4 &\end{matrix}\right.$
 
D

dien0709

Nhìn lại mới biết bài này ở box 9,nhưng cũng có thể tìm min

$ \dfrac{t^2 + 4t + 4}{t - 2} = \dfrac{16(t -2) + t^2 - 12t + 36}{t - 2} $

= $ 16 + \dfrac{(t - 6)^2}{t - 2} $ \geq $ 16 $ với mọi t > 2
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom