Toán 9 Tìm Min: [tex]\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}[/tex]

[NoName23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 . (áp dụng [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex]
Tìm Min: [tex]\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho a,b,c>0 . (áp dụng [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex]
Tìm Min: [tex]\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}[/tex]

Theo BĐT Cauchy ta có:
[tex]a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2.b^2}=2ab[/tex]
Tương tự ....
Suy ra [tex]2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
Áp dụng BĐT trên ta được
[tex]\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{(2xy)^2}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +(\frac{x}{y})^2+(\frac{y}{x})^2\geq \frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x}{y}+\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y}{x}.\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2x^2}{x^2+y^2}+1+\frac{2y^2}{x^2+y^2}=\frac{2(x^2+y^2)}{x^2+y^2}+1=2+1=3[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]