Toán 9 Tìm min P=a+b

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn [tex](a+\sqrt{1+a^{2}})(b+\sqrt{1+b^{2}})=4[/tex]. Tìm GTNN của P=a+b.
Em xin cảm ơn!

 

[7 1 2 5]

Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{1+a^2}=\frac{4}{\sqrt{1+b^2}+b}=4(\sqrt{1+b^2}-b)\\ b+\sqrt{1+b^2}=\frac{4}{\sqrt{1+a^2}+a}=4(\sqrt{1+a^2}-a) \end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2})=4(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2})-4(a+b)\Rightarrow 5(a+b)=3(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}) \geq 3\sqrt{(1+1)^2+(a+b)^2}=3\sqrt{(a+b)^2+4} > 0 \Rightarrow 25(a+b)^2 \geq 9[(a+b)^2+4] \Rightarrow 16(a+b)^2 \geq 36 \Rightarrow a+b \geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[kido2006]

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn [tex](a+\sqrt{1+a^{2}})(b+\sqrt{1+b^{2}})=4[/tex]. Tìm GTNN của P=a+b.
Em xin cảm ơn!

Đặt [tex]a+\sqrt{1+a^2}=k(k\neq 0)\Rightarrow a=\frac{k^2-1}{2k}[/tex]
Có [tex]4=(a+\sqrt{1+a^{2}})(b+\sqrt{1+b^{2}})=k(b+\sqrt{1+b^{2}})\Rightarrow b+\sqrt{1+b^{2}}=\frac{4}{k}\Rightarrow b=\frac{4^2-k^2}{8k}[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b=\frac{3k^2+12}{8k}=\frac{3(k^2+4)}{8k}\geq ^{AM-GM}\frac{3.4k}{8k}=\frac{3}{2}[/tex]