Toán 9 Tìm MIN MAX

[PDK Films]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[pinkylun]

$\sqrt{3a+1}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{4(3a+1)} <=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a+5}{2}$
cộng ba vế lại là ra nhé !

 

[Ann Lee]

View attachment 54522

Cho 3 số thực không âm a,b,c và a+b+c=3. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức [tex]K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}[/tex]
_____________
GTLN:
Áp dụng BĐT Bunykovsky ta có:
$K^{2}=(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(3a+1+3b+1+3c+1)=3.3.(a+b+c+1)=9.(3+1)=36$
$\Rightarrow K\leq 6$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
GTNN:
+) Xét BĐT bổ đề: Với [tex]0\leq x\leq 3[/tex] thì $\sqrt{3x+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}x+1$
Thật vậy:
$\sqrt{3x+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}x+1$
$\Leftrightarrow 3x+1\geq \frac{11-2\sqrt{10}}{9}x^{2}+\frac{2\sqrt{10}-2}{3}x+1$
$\Leftrightarrow \frac{11-2\sqrt{10}}{3}x-\frac{11-2\sqrt{10}}{9}x^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{11-2\sqrt{10}}{9}x(3-x)\geq 0$ luôn đúng với [tex]0\leq x\leq 3[/tex]
+) Vì a,b,c không âm và a+b+c=3 nên [tex]0\leq a,b,c\leq 3[/tex]
Áp dụng BĐT bổ đề, ta có:

• $\sqrt{3a+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}a+1$
• $\sqrt{3b+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}b+1$
• $\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}c+1$

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được
[tex]K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}(a+b+c)+3=\sqrt{10}-1+3=\sqrt{10}+2[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow (a;b;c)=(3;0;0)[/tex] và các hoán vị của nó

 

[ka1412]

Cho 3 số thực không âm a,b,c và a+b+c=3. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức [tex]K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}[/tex]
_____________
GTLN:
Áp dụng BĐT Bunykovsky ta có:
$K^{2}=(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(3a+1+3b+1+3c+1)=3.3.(a+b+c+1)=9.(3+1)=36$
$\Rightarrow K\leq 6$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
GTNN:
+) Xét BĐT bổ đề: Với [tex]0\leq x\leq 3[/tex] thì $\sqrt{3x+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}x+1$
Thật vậy:
$\sqrt{3x+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}x+1$
$\Leftrightarrow 3x+1\geq \frac{11-2\sqrt{10}}{9}x^{2}+\frac{2\sqrt{10}-2}{3}x+1$
$\Leftrightarrow \frac{11-2\sqrt{10}}{3}x-\frac{11-2\sqrt{10}}{9}x^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{11-2\sqrt{10}}{9}x(3-x)\geq 0$ luôn đúng với [tex]0\leq x\leq 3[/tex]
+) Vì a,b,c không âm và a+b+c=3 nên [tex]0\leq a,b,c\leq 3[/tex]
Áp dụng BĐT bổ đề, ta có:

• $\sqrt{3a+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}a+1$
• $\sqrt{3b+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}b+1$
• $\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}c+1$

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được
[tex]K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}(a+b+c)+3=\sqrt{10}-1+3=\sqrt{10}+2[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow (a;b;c)=(3;0;0)[/tex] và các hoán vị của nó

Bất đẳng thức bổ đề e còn chưa nghe bao giờ . Có cách nào dễ hơn để tính min k ạ?

 

[Ann Lee]

Bất đẳng thức bổ đề e còn chưa nghe bao giờ . Có cách nào dễ hơn để tính min k ạ?

Nói BĐT bổ đề cho oai vậy thôi bạn à
bài này mình đã sử dụng phương pháp hệ số bất định (U.C.T) để tạo ra BĐT bổ đề đấy.
Ngoài cách này ra thì hiện tại mình chưa nghĩ ra được cách khác.
Hơn nữa, cách này cũng đâu phải là khó nhỉ, BĐT bổ đề kia chỉ cần biến đổi tương đương vài lần là đã chứng minh được nó luôn đúng, và rồi chỉ cần áp dụng BĐT bổ đề là tìm được GTNN của K.

 

[ka1412]

Cho 3 số thực không âm a,b,c và a+b+c=3. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức [tex]K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}[/tex]
_____________
GTLN:
Áp dụng BĐT Bunykovsky ta có:
$K^{2}=(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(3a+1+3b+1+3c+1)=3.3.(a+b+c+1)=9.(3+1)=36$
$\Rightarrow K\leq 6$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
GTNN:
+) Xét BĐT bổ đề: Với [tex]0\leq x\leq 3[/tex] thì $\sqrt{3x+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}x+1$
Thật vậy:
$\sqrt{3x+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}x+1$
$\Leftrightarrow 3x+1\geq \frac{11-2\sqrt{10}}{9}x^{2}+\frac{2\sqrt{10}-2}{3}x+1$
$\Leftrightarrow \frac{11-2\sqrt{10}}{3}x-\frac{11-2\sqrt{10}}{9}x^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{11-2\sqrt{10}}{9}x(3-x)\geq 0$ luôn đúng với [tex]0\leq x\leq 3[/tex]
+) Vì a,b,c không âm và a+b+c=3 nên [tex]0\leq a,b,c\leq 3[/tex]
Áp dụng BĐT bổ đề, ta có:

• $\sqrt{3a+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}a+1$
• $\sqrt{3b+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}b+1$
• $\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}c+1$

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được
[tex]K=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}(a+b+c)+3=\sqrt{10}-1+3=\sqrt{10}+2[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow (a;b;c)=(3;0;0)[/tex] và các hoán vị của nó

Nhưng theo e thì bài này kết quả thường sẽ đẹp hơn thế này .Mà chắc chị đúng =)