Tìm Min,Max

[quyettamhoc_mt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y >0 và x+y =1
Tìm Min : A= x^2 +y^2 + 1/x^2 +1/y^2

2. Cho x,y > 0, thỏa mãn: x^2 +y^2 =1
Tìm Min : A=1/x^3 +1/y^3

 

[trantien.hocmai]

$\text{Giải} \\$
$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1 \rightarrow xy=\dfrac{(x+y)^2-1}{2} \\
\text{đặt x+y=t, ta có: } xy=\dfrac{t^2-1}{2} \\
P=\dfrac{8t(t^2-3\dfrac{t^2-1}{2})}{(t^2-1)^3}=\dfrac{-4x^3+12x}{(t^2-1)^3} \\
$$
$\text{do }(x+y)^2 \ge 4xy \text{ nên } t^2 \ge 2(t^2-1) \rightarrow -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} \\
\text{xét hàm số }$
$$f(t)=\dfrac{-4x^3+12x}{(t^2-1)^3} \text{ } t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}] \\
$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

$A \ge \dfrac{1}{2}(x+y)^2+\dfrac{2}{xy} \ge \dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{(x+y)^2}=8.5$

Bài 2:

$x^2+y^2 \ge 2xy \rightarrow xy \le \dfrac{1}{2}$

$A \ge \dfrac{2}{(xy)^{3/2}} \ge 8\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Quên là bài này nằm trong phần ứng dụng đạo hàm

Bài 1:

Đặt $t=xy$ với $0<t\le \dfrac{1}{4}$

Theo Cauchy:

$A \ge 2t+\dfrac{2}{t}=f(t)$

$f'(t)=2-\dfrac{2}{t^2}<0$

Suy ra $f(t)\ge f(\dfrac{1}{4})=8.5$

Bài 2:

Đặt $0<t=xy \le \dfrac{1}{2}$

$A=\dfrac{(1-xy)(x+y)}{(xy)^3} \ge \dfrac{2\sqrt{t}(1-t)}{t^3}=f(t)$

Chứng mình $f'(t)<0$