Ta có bài toán tổng quát .
Tìm max:
[TEX]\Large \blue sin^m x +cos^n x \ \ \forall m,n \ge 2 ,\ \ m,n \in N [/TEX]
[TEX] \Large \red sin^2 x \ge sin^m x \ \ \forall m \ge 2 , m \in N \\ cos^2 x \ge cos^n x \ \ \forall n \ge 2, \ \ n \in N \\ \Rightarrow Max \ \ sin^m x +cos^n x = 1[/TEX]
[TEX]\Large \red "=" \Leftrightarrow \left[ sin x = 1 \\ cos x = 1[/TEX]
Tìm min:
[TEX]\Large \blue sin^m x +cos^m x \ \ \forall m \ge 2 ,\ \ m \in N [/TEX]
m chẵn
[TEX]\Large \red sin^m x + cos^m x \geq \frac{2}{(\sqrt{2} )^m } [/TEX]
[TEX]\Large \red "=" \Leftrightarrow sin x = cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]
Chứng minh áp dụng BDT Co- si cho :
[TEX]\red sin^m x[/TEX] và [TEX]\frac{m}{2}-1[/TEX] số [TEX]\red (\frac{1}{\sqrt{2}})^m[/TEX]
[TEX]\red cos^m x[/TEX] và [TEX]\frac{m}{2}-1[/TEX] số [TEX]\red (\frac{1}{\sqrt{2}})^m[/TEX]
Max quá rõ không cần ví dụ nữa
, min ví dụ bài trên :
[TEX]sin^{10} x + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \geq 5.\frac{1}{2^4} sin^2 x[/TEX]
[TEX]cos^{10} x+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \ge 5.\frac{1}{2^4}cos ^2 x [/TEX]
[TEX]\Rightarrow sin^{10} x + cos^{10} x \ge {\frac{5}{2^4}} - \frac{8}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^4} [/TEX]
Min [TEX] sin^10 x + cos^10 x =\frac{1}{2^4} \Leftrightarrow sin x = cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} [/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn