[Tìm Min] không dễ

[codocvuog]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các bạn giải dùm bài tìm Min:

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xy + yz + xz = 5

Tìm Min của P = [TEX] 3x^2 + 3y^2 + z^2[/TEX]

 

[dungnhi]

Nhờ các bạn giải dùm bài tìm Min:

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xy + yz + xz = 5

Tìm Min của P = [TEX] 3x^2 + 3y^2 + z^2[/TEX]

Giả sử [TEX]x \geq y \geq z => 5 \geq 3z^2[/TEX] <=> [TEX]z \in (0;\sqrt{\frac{5}{3}}][/TEX]
Lại có : [TEX](xy+yz+xz)^2 \leq (x^2+y^2+z^2)^2 [/TEX]<=>[TEX] 5 \leq x^2+y^2+z^2[/TEX]
Ta có[TEX] P =3(x^2+y^2+z^2)-2z^2 \geq 15 -2z^2[/TEX]
Xét [TEX]15-2z^2[/TEX] đạt min tại [TEX]z=\sqrt{\frac{5}{3}}[/TEX]
=> [TEX]P\geq 15-2.\frac{5}{3}[/TEX]
Dấu "=" khi [TEX]x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}[/TEX]

 

[codocvuog]

cách chứng minh này hơi khó hiểu có bạn nào chứng minh bằng cosi khong

 

[dungnhi]

cách chứng minh này hơi khó hiểu có bạn nào chứng minh bằng cosi khong

Ô hay ! Sao lại khó hiểu ? :-/ Bài này vừa sử dụng Bunhia vừa ứng dụng chút xíu đạo hàm để tìm min của [TEX]15-2z^2[/TEX] .Rõ ràng thế khó hiểu chỗ nào :-/

 

[khum_hangjen]

Nhờ các bạn giải dùm bài tìm Min:

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xy + yz + xz = 5

Tìm Min của P = [TEX] 3x^2 + 3y^2 + z^2[/TEX]

[TEX]x^2+y^2 \geq 2xy [/TEX] . Dấu đẳng thức khi [TEX]x=y[/TEX]
[TEX]2y^2+\frac{1}{2}.z^2 \geq 2yz[/TEX] . Dấu đẳng thức khi [TEX]2y^2 = \frac{1}{2}.z^2[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2}.z^2+2x^2 \geq 2zx[/TEX] . Dấu đẳng thức khi [TEX]\frac{1}{2}.z^2= 2x^2[/TEX]

Cộng theo vế ta được : [TEX]3x^2+3y^2 +z^2 \geq 2.(xy+yz+zx) \Rightarrow 3x^2 +3y^2 +z^2 \geq 10 [/TEX] ( đpcm )

Đẳng thức xảy ra khi :
[TEX]x=y[/TEX]
[TEX]2y^2 = \frac{1}{2}.z^2[/TEX] ; [TEX]\Leftrightarrow x=y=1[/TEX] ; [TEX]z=2[/TEX]
[TEX] \frac{1}{2}.z^2=2x^2[/TEX]
[TEX]xy+yz+zx= 5[/TEX]

 

[khum_hangjen]

Giả sử [TEX]x \geq y \geq z => 5 \geq 3z^2[/TEX] <=> [TEX]z \in (0;\sqrt{\frac{5}{3}}][/TEX]
Lại có : [TEX](xy+yz+xz)^2 \leq (x^2+y^2+z^2)^2 [/TEX]<=>[TEX] 5 \leq x^2+y^2+z^2[/TEX]
Ta có[TEX] P =3(x^2+y^2+z^2)-2z^2 \geq 15 -2z^2[/TEX]
Xét [TEX]15-2z^2[/TEX] đạt min tại [TEX]z=\sqrt{\frac{5}{3}}[/TEX]
=> [TEX]P\geq 15-2.\frac{5}{3}[/TEX]
Dấu "=" khi [TEX]x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}[/TEX]

sao mà chọn điểm rơi như vậy được ; ở đây vai trò [TEX]x;y;z [/TEX] đâu có như nhau

 

[dungnhi]

sao mà chọn điểm rơi như vậy được ; ở đây vai trò [TEX]x;y;z [/TEX] đâu có như nhau

Bạn giải thích rõ hơn đc ko? Cho luôn bài tập VD . Nói chung CM BĐT là tớ đang còn gà lắm

 

[giangln.thanglong11a6]

Bạn giải thích rõ hơn đc ko? Cho luôn bài tập VD . Nói chung CM BĐT là tớ đang còn gà lắm

Nói vai trò của x, y, z không tương đương là vì trong biểu thức [TEX]3x^2+3y^2+z^2[/TEX], hệ số của x, y, z không như nhau.

Nếu muốn thực hành về điểm rơi thì em có thể tham khảo bài này:

Cho x, y, z dương và [TEX]x+y+z=4[/TEX]. Tìm [TEX]\min \ \ x^3+y^2+z^2[/TEX]

 

[h1n1.flu]

Cho x, y, z dương và [TEX]x+y+z=4[/TEX]. Tìm [TEX]\min \ \ x^3+y^2+z^2[/TEX]

[TEX]x^3 +y^2+z^2 \geq x^3+ \frac{1}{2} (y+z)^2 = x^3+ \frac{1}{2} (4-x)^2 =f(x)[/TEX]

Khảo sát hàm f(x) ...