Tìm Min $\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}$

[hotcat9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x>0, y>0
Tìm Min của:
P=$\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}$


CẢM ƠN MỌI NG~

 

[conga222222]

$\eqalign{
& P = {{{x^2} + 1} \over y} + {{{y^2} + 1} \over x} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} + {1 \over y} + {1 \over x} \ge 4\root 4 \of {{{{x^2}{y^2}} \over {{x^2}{y^2}}}} = 4 \cr
& dau = \leftrightarrow x = y = 1 \cr} $

 

[tranvanhung7997]

Dùng BĐT Cô si: $x^2+1 \ge 2x$ ; $y^2+1 \ge 2y$
Dấu "=" có <=> x=y=1
=>$ P \ge \frac{2x}{y}+ \frac{2y}{x} \ge 2.\sqrt[]{2.2}=4$
Vậy Min P=4 <=> x=y=1

 

[linh123658]

Cho x>0, y>0
Tìm Min của:
P=$\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}$


CẢM ƠN MỌI NG~

AD bdt Cauchy:
$x^2+1$\geq$2x$

$y^2+1$\geq$2y$

$x^2+y^2$\geq$2xy$
Thay vào $P$:
$P$\geq$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$
$=\frac{2(x^2+y^2)}{xy}$\geq$\frac{4xy}{xy}=4$
Dấu "$=$"\Leftrightarrow$x=y=1$

 

[zebra_1992]

Ta có: [TEX]\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{1}{y}+\frac{y^2}{x}+\frac{1}{x}[/TEX] (1)
Vì x, y dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm ta có:
(1)\geq4[TEX]\sqrt[4]{\frac{x^2y^2}{x^2y^2}}[/TEX]
\Leftrightarrow (1)\geq 4
Vậy GTNN cần tìm là 4 khi x=y=1
Hic ( mình chậm chân hơn mọi người mất rồi