Tìm min của $Q=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}$

[twinkle1421999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 0<x<1, Tìm GTNN của biểu thức
$Q=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}$

 

[eye_smile]

Cho 0<x<1, Tìm GTNN của biểu thức
$Q=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}$

Xét biểu thức phụ $B = \dfrac{{3x}}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x}}{x}$
Vì $0 < x < 1 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{3x}}{{1 - x}} > 0} \\
{\dfrac{{4 - 4x}}{x} > 0} \\
\end{array}} \right.$
AD BĐT Cô-si cho 2 số dương ta được:
$B = \dfrac{{3x}}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{3x}}{{1 - x}}.\dfrac{{4 - 4x}}{x}} = 2\sqrt {12} = 4\sqrt 3 $
Dấu "=" xảy ra $ \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{3x}}{{1 - x}} = \dfrac{{4 - 4x}}{x}} \\
{0 < x < 1} \\
\end{array}} \right.$
$ \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4{{\left( {1 - x} \right)}^2} = 3{x^2}} \\
{0 < x < 1} \\
\end{array}} \right.$
$ \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {1 - x} \right| = \sqrt {\dfrac{{3{x^2}}}{4}} } \\
{0 < x < 1} \\
\end{array}} \right.$
$ \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - x = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}} \\
{0 < x < 1} \\
\end{array}} \right.$
$ \leftrightarrow x = - 2\sqrt 3 + 4$
Lại có:$Q - B = \dfrac{3}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} - \dfrac{{3x}}{{1 - x}} - \dfrac{{4 - 4x}}{x} = 7$
$ \to {Q_{MIN}} = 7 + {B_{MIN}} = 7 + 4\sqrt 3 $
Dấu "=" xảy ra $ \leftrightarrow x = - 2\sqrt 3 + 4$

 

[conga222222]

Cho 0<x<1, Tìm GTNN của biểu thức
$Q=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}$

\[\begin{array}{l}
Q = \frac{3}{{1 - x}} + \frac{4}{x}\\
Q*1 = \left( {\frac{3}{{1 - x}} + \frac{4}{x}} \right)\left( {\left( {1 - x} \right) + x} \right) \ge {\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2}\\
dau = \leftrightarrow \frac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{x^2}}}
\end{array}\]