Toán 9 Tìm Min của P

[Love Means]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $ a,b,c > 0 ; abc = a+b+c $ . Tìm Min của $ P = a^5(bc-1) + b^5(ca-1) + c^5(ab-1) $

 

[candyiukeo2606]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số, ta có:
$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ <=> $abc \geq \sqrt[3]{abc}$ <=> $\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{(abc)^2} - 3) \geq 0$ <=> $\sqrt[3]{(abc)^2} - 3 \geq 0$ (vì $a, b, c \geq 0$)
<=> $abc = a + b + c \geq 3\sqrt{3}$
$P = a^5(bc - 1) + b^5(ca - 1) + c^5(ab - 1) = (abc - 1)(a^4 + b^4 + c^4)$
Mà $a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$
$a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geq abc(a + b + c)$
=> $a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)$
=> $P \geq abc(abc - 1)(a + b + c) \geq 27(3\sqrt{3} - 1)$
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = $\sqrt{3}$