Tìm Min của M =$\frac{x^2+y^2}{xy}$

N

nguyenbahiep1

Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện [TEX]x \geq 2y[/TEX], tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]M = (x^2+y^2)/xy[/TEX]

đây là đề lên lớp 10 năm 2012-2013 tại hà nội

[laTEX]x \geq 2 y \Rightarrow \frac{x}{y} \geq 2 \\ \\ M = \frac{(\frac{x}{y})^2+1}{\frac{x}{y}} = \frac{x}{y} + \frac{1}{\frac{x}{y}} \\ \\ M = \frac{x}{y} +\frac{4}{\frac{x}{y}} - \frac{3}{\frac{x}{y}} \\ \\ M \geq 2.2 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \\ \\ x = 2y [/laTEX]
 
T

thupham22011998

Ta có: x\geq2y
\RightarrowM\geq[TEX]\frac{4y^2+y^2}{2y^2}[/TEX]
\LeftrightarrowM\geq[TEX]\frac{5}{2}[/TEX]
Vậy min M=5/2\Leftrightarrowx=2y
 
T

thang37846310

nhận xét

nguyenbahiep1 said:
Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện [TEX]x \geq 2y[/TEX], tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]M = (x^2+y^2)/xy[/TEX]

đây là đề lên lớp 10 năm 2012-2013 tại hà nội

[laTEX]x \geq 2 y \Rightarrow \frac{x}{y} \geq 2 \\ \\ M = \frac{(\frac{x}{y})^2+1}{\frac{x}{y}} = \frac{x}{y} + \frac{1}{\frac{x}{y}} \\ \\ M = \frac{x}{y} +\frac{4}{\frac{x}{y}} - \frac{3}{\frac{x}{y}} \\ \\ M \geq 2.2 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \\ \\ x = 2y [/laTEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

cái đoạn M=X/Y + 1/X/Y em thấy anh giải hơi lạ vì nếu X/Y nhỏ nhất thì 1/X/Y lại lớn nhất nên có sự mâu thuẫn
 
H

hoang_duythanh

Có thể làm bài này theo hướng khác sau
x\geq2y
P=$\frac{x^2+y^2}{xy}$
=$\frac{(x^2+4y^2-4xy)+4xy-3y^2}{xy}$
=$\frac{(x-2y)^2}{xy}+4-\frac{3y}{x}$
Do x,y>0 và x\geq2y=>2-2y\geq0 và $\frac{x}{y}$\geq$\frac{1}{2}$=>$\frac{y}{x}$\leq$\frac{1}{2}$
\Rightarrow-$\frac{y}{x}$\geq$\frac{1}{2}$
\Rightarrow-$\frac{3y}{x}$\geq$\frac{-3}{2}$
=>P\geq0+4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$
Min $P=\frac{5}{2}$ đạt khi x=2y>0
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom