cho cos2x + cos2y + 2sin(x+y) = 2
Tìm min của [tex]P=\frac{sin^4{x}}{y} + \frac{cos^4{y}}{x}[/tex]
giúp mình với. thanks
Ta đi c/m $x+y=\frac{\pi }{2}$
Ta có: [tex]x,y,\frac{\pi }{2}-x,\frac{\pi }{2}-y\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )[/tex]
Giả sử [tex]x+y> \frac{\pi }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x> \frac{\pi }{2}-y\Rightarrow sinx> sin\left ( \frac{\pi }{2}-y \right )=cosy\\ y> \frac{\pi }{2}-x\Rightarrow siny> sin\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )=cosx \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow sin^2x+sin^2y> sinx.cosy+cosx.siny=sin(x+y) \ (1)[/tex]
Tương tự, giả sử [tex]x+y< \frac{\pi }{2}\Rightarrow sin^2x+sin^2y< sin(x+y) \ (2)[/tex]
Từ (1) và (2) => vô lí
[tex]\Rightarrow x+y=\frac{\pi }{2}[/tex]
Ta có: [tex]cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2\Leftrightarrow sin^2x+sin^2y=sin(x+y)[/tex]
Áp dụng bđt Cauchy-Schwars ta được
[tex]P\geq \frac{(sin^2x+sin^2y)^2}{x+y}=\frac{2}{\pi }[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=\frac{\pi }{4}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
