Toán 9 Tìm min của biểu thức [tex]\frac{(x+y+1)^2}{xy+y+x} + \frac{ xy+y+x}{(x+y+1)^2 }[/tex] với x,y>0

[thangbebu1112004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm min của biểu thức [tex]\frac{(x+y+1)^2}{xy+y+x} + \frac{ xy+y+x}{(x+y+1)^2 }[/tex] với x,y[tex]> 0[/tex]

 

[Ann Lee]

tìm min của biểu thức [tex]\frac{(x+y+1)^2}{xy+y+x} + \frac{ xy+y+x}{(x+y+1)^2 }[/tex] với x,y[tex]> 0[/tex]

$\frac{(x+y+1)^2}{xy+y+x} + \frac{ xy+y+x}{(x+y+1)^2 }$
$=\frac{(x+y+1)^2}{9(xy+y+x)} + \frac{ xy+y+x}{(x+y+1)^2 }+\frac{8(x+y+1)^2}{9(xy+y+x)}$
$\geq 2\sqrt{\frac{(x+y+1)^2}{9(xy+y+x)}.\frac{ xy+y+x}{(x+y+1)^2 }}+\frac{8(x^{2}+y^{2}+1+2xy+2y+2x)}{9(xy+y+x)}$ (áp dụng BĐT Cauchy)
$=\frac{2}{3}+\frac{8(x^{2}+y^{2}+1)}{9(xy+y+x)}+\frac{16(xy+y+x)}{9(xy+y+x)}$
$\geq \frac{2}{3}+\frac{8(xy+y+x)}{9(xy+y+x)}+\frac{16}{9}$ (BĐT [tex]x^{2}+y^{2}+1\geq xy+y+x[/tex] có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, hoặc áp dụng BĐT Cauchy cũng được)
$=\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{16}{9}=\frac{10}{3}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=1$