tìm max

[tranghh4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x+y+z=1 \\ x,y,z>=0
Tìm max [TEX]P=x^2 y+y^2 z+z^2 x[/TEX] .

 

[bigbang195]

Cho x+y+z=1
Tìm max [TEX]P=x^2 y+y^2 z+z^2 x[/TEX] .

Đặt [TEX]a=3x,b=3y,c=3z[/TEX] thì

[TEX]a+b+c=3.[/TEX] Chỉ cần CM

[TEX]a^2b+b^2c+c^2a \le 4[/TEX]

Giả sử c min thì

[TEX]LHS \le a^2b+ab^2+\frac{a^2c}{2}+\frac{abc}{2}[/TEX]

[TEX]=a\lef(ab+b^2+\frac{ac}{2}+\frac{bc}{2} \right )[/TEX]

[TEX]=a(a+b)\lef( b+\frac{c}{2} \right ) \le a(a+b)(b+2c)[/TEX]

Chọn điểm rơi[TEX] a=2,b=1,c=0[/TEX]

[TEX]\frac{LHS}{12}=\frac{a}{2} .\frac{a+b}{3} .\frac{b+2c}{2} \le ....[/TEX](thêm c vào cho đủ)

 

[ivory]

Đặt [TEX]a=3x,b=3y,c=3z[/TEX] thì

[TEX]a+b+c=3.[/TEX] Chỉ cần CM

[TEX]a^2b+b^2c+c^2a \le 4[/TEX]

Giả sử c min thì

[TEX]LHS \le a^2b+ab^2+\frac{a^2c}{2}+\frac{abc}{2}[/TEX]

[TEX]=a\lef(ab+b^2+\frac{ac}{2}+\frac{bc}{2} \right )[/TEX]

[TEX]=a(a+b)\lef( b+\frac{c}{2} \right ) \le a(a+b)(b+2c)[/TEX]

Chọn điểm rơi[TEX] a=2,b=1,c=0[/TEX]

[TEX]\frac{LHS}{12}=\frac{a}{2} .\frac{a+b}{3} .\frac{b+2c}{2} \le ....[/TEX](thêm c vào cho đủ)

có bài mạnh hơn
với [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] ta có [TEX]a^2b+b^2c+c^2a+abc\le \frac{4}{27}(a+b+c)^3[/TEX]
bài trên có được khi chuẩn hoá [TEX]a+b+c=3[/TEX]
mong mọi người đưa ra nhiều lời gải cho bài toán này

 

[tranghh4]

ko cần đặt x=3a ta cũng có thể giải tương tự như khi đặt cũng được.
Bài trên có thể dùng đạo hàm, cũng nhanh ma dễ hiểu lắm.
TQ nek, bạn thử tìm ra quy luật của nó xem
[TEX]P=x^n y+y^n z+z^n x[/TEX]
Dùng đạo hàm thì chứng minh tổng quát sẽ dễ hơn rất nhìu