Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x^2 + y^2 + z^2 +2xyz =1. Tìm max của
P=xy+yz+xz-2xyz.
dự đoán: x=y=z=1/2 nên xét: [tex]x-\frac{1}{2}; y-\frac{1}{2};z-\frac{1}{2}[/tex]
theo nguyên lí Đi dép lê trong 3 số tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu
giả sử đó là x-1/2 và y-1/2
suy ra: [tex](x-\frac{1}{2}).(y-\frac{1}{2})\geq 0\\\\ <=> 4z.(x-\frac{1}{2}).(y-\frac{1}{2})\geq 0\\\\ <=>4z.(xy-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{4})\geq 0\\\\ <=> 4xyz-2xz-2yz+z\geq 0\\\\ <=> 2xy+2yz+2xz-4xyz\leq 2xy+z\\\\ <=> 2.P\leq 2xy+z\\\\ +, x^2+y^2+z^2+2xyz=1\\\\ <=> 1-z^2=x^2+y^2+2xyz\geq 2xy+2xyz\\\\ <=> (1-z).(1+z)\geq 2xy.(1+z)\\\\ <=> 2xy\leq 1-z\\\\ => 2P\leq 2xy+z\leq 1-z+z=1\\\\ => P\leq \frac{1}{2}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
