Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x=min\left \{x,y,z \right \}[/tex]
Giả sử t là một biến mới thỏa mãn [tex]x+2t+t^{2}x=4[/tex]
Ta đặt [tex]f(x,y,z)=xy+yz+zx-4[/tex] [tex]\Rightarrow f(x,t,t)=2tx+t^{2}[/tex]
Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+z+xyz=4\\ 2t+x+t^2x=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2t-y-z+x(t^2-yz)=0\Rightarrow 2t-y-z=x(yz-t^2)[/tex]
Nếu [tex]2t-y-z> 0\Rightarrow t> \frac{y+z}{2}[/tex]
Mà [tex]2t-y-z=x(yz-t^2)\Rightarrow yz-t^{2}> 0\Rightarrow t< \sqrt{yz}\Rightarrow \sqrt{yz}> t> \frac{y+z}{2}[/tex](vô lí)
Vậy [tex]2t-y-z\leq 0\leq t^{2}-yz[/tex]
Ta có: [tex]f(x,t,t)-f(x,y,z)=2xt+t^{2}-(xy+yz+zx)=x(2t-y-z)+(t^{2}-yz)=x(2t-y-z)-\frac{1}{x}(2t-y-z)=(2t-y-z)(x-\frac{1}{x})[/tex]
Vì [tex]4=x+y+z+xyz \geq 3x+x^3 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+4) \leq 0 \Rightarrow x \leq 1 \Rightarrow x-\frac{1}{x}\leq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x,y,z)\leq f(x,t,t)[/tex]
Lại có: [tex]2t+x+t^2x=4 \Rightarrow x=\frac{4-2t}{t^2+1}\geq 0\Rightarrow t\leq 2\Rightarrow f(x,t,t)=2tx+t^2=2t.\frac{4-2t}{t^2+1}+t^2=\frac{t^4+t^2+8t-4t^2}{t^2+1}=\frac{t^4-3t^2+8t}{t^2+1}=4+\frac{t^4-7t^2+8t-4}{t^2+1}=4+\frac{(t-2)(t^3+2t^2-3t+2)}{t^2+1}\leq 4[/tex]
Vậy [tex]f(x,y,z)\leq f(x,t,t)\leq 4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x = 0,y = z = 2.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
