Tìm max,min

C

congan98

1x+4y+9x≥(1+2+3)2x+y+z=36
c/m đẳng thức này đi
bạn viết mình k hiểu j hết
 
V

vansang02121998

Đây là bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức này khi đi thi phải chứng minh lại nên theo tui cách này không hay lắm mặt dù tui cũng không nghĩ ra cách khác

Chứng minh bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho 3 số không âm như sau


Giả sử

$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$ ( $a;b;x;y >0$ )

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2y+b^2x}{xy} \ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$

$\Leftrightarrow (x+y)(a^2y+b^2x) \ge xy(a+b)^2$

$\Leftrightarrow a^2xy+b^2xy+a^2y^2+b^2x^2 \ge a^2xy+2abxy+b^2xy$

$\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2 \ge 0$

$\Leftrightarrow (ay-bx)^2 \ge 0$ ( luôn đúng )

$\Rightarrow \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$

Áp dụng

$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}$

$\ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom