Toán Tìm max, min của P=x^2 +y^2 - xy (đề thi tỉnh Đăk Nông)

[hoanganh_dn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hai số: [tex]0 < x \leq 1; 0 < y \leq 1[/tex] thỏa mãn: x + y = 4xy. Tìm max, min của [TEX]P=x^2 +y^2 - xy[/TEX]
Mình nghĩ mãi mà không giải được! Mong mọi người giúp đỡ. Cảm ơn nhiều!

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

$P=x^2+y^2-xy
\\=(x+y)^2-3xy
\\=16x^2y^2-3xy
\\=16x^2y^2-3xy+\dfrac{9}{64}-\dfrac{9}{64}
\\=(4xy-\dfrac{3}{8})^2-\dfrac{9}{64}$
Bây giờ ta sẽ tìm min, max của $xy$.
$4xy=x+y \geq 2\sqrt{xy}
\\\Rightarrow xy \geq \dfrac{1}{4}(*)
\\(x-1)(y-1) \geq 0
\\\Leftrightarrow xy-(x+y)+1 \geq 0
\\\Leftrightarrow xy-4xy+1 \geq 0
\\\Leftrightarrow xy \leq \dfrac{1}{3}(**)$.
Thay vào trên thì ta sẽ tìm được min, max của $P$
Min khi $x=y=\dfrac{1}{2}$, max khi $x=1,y=\dfrac{1}{3}$
P/s: Đây là câu cuối đề chuyên toán NCT chắc hẵn bạn cũng ở Đắc Nông hả? Nếu bạn muốn ôn luyện kiến thức thi chuyên Toán thì có thể tham khảo topic luyện thi tuyển sinh toán $10$ của box Toán nhé.