Toán 10 Tìm max của biểu thức

[Đỗ Hằng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:
[tex]4x^2 + 4y^2 + z^2 =\frac{1}{2} (2x+2y+z)^2[/tex]
Tìm max của:
[tex]P= \frac{8x^3+8y^3 +z^3}{( 2x+2y+z)(4xy+2yz+ 2zx)}[/tex]
@mỳ gói

 

[TranPhuong27]

Đổi biến rồi Schur P-Q-R là ra thôi ạ.
Đặt [TEX]2x=a,2y=b,z=c ( a,b,c > 0 )[/TEX]
Khi đó ta có: [TEX]a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2} (a+b+c)^2[/TEX] và [TEX]P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}[/TEX]
Đặt [TEX]a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r[/TEX]
Ta có: [TEX]p^2-2q=\frac{1}{2}p^2 \Leftrightarrow p^2=4q \Leftrightarrow p^2-3q=q[/TEX]
Khi đó [TEX]P=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{p(p^2-3q)+3r}{pq}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow P=\frac{pq+3r}{pq}=1+\frac{3r}{pq}[/TEX]
Lại có bổ đề quen thuộc: [TEX]pq \geq 9r \Rightarrow P \leq 1+\frac{3r}{9r}=\frac{4}{3}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX] hay [TEX]x=y=\frac{z}{2}[/TEX]

P/s: chị check giúp em nhé, bận học nên chỉ làm qua vậy thôi.