1, m=?để
[TEX]y={x}^{3}+(1-m){x}^{2}-{m}^{2}[/TEX]
cắt Ox tại 3 điểm pb có hoành độ dương
2, m=? để
[TEX]y=\frac{1}{3}{x}^{3}+m{x}^{2}-x+m+\frac{2}{3}[/TEX]
cắt Ox tại x1,x2,x3 sao cho [TEX]{x_1}^{2}+{x_2}^{2}+{x_3}^{2}>15[/TEX]
Câu 1: bạn xem lại đề giùm nghen, vì y' = 0 có nghiệm x = 0 nên nên không thể 3 nghiệm đều dương được
Câu 2. [TEX]y'=x^2+2mx-1[/TEX]
[TEX]y'=0 \Leftrightarrow \ x^2+2mx-1=0 (I)[/TEX]
Ta thấy [TEX]\Delta ' = m^2+1>0 \forall m[/TEX] nên hàm số luôn có 2 cực trị
Ta có [TEX]y=(\frac{x}{3}+\frac{m}{3})(x^2+2mx-1)-\frac{2}{3}(m^2+1)x+\frac{m}{3}+\frac{2}{3}[/TEX]
Gọi [TEX]A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)[/TEX] là hai điểm cực trị nên [TEX]x_A, x_B[/TEX] là nghiệm của (I)
[TEX]\Rightarrow \ \left{y_A=-\frac{2}{3}(m^2+1)x_A+\frac{m}{3}+\frac{2}{3}\\y_B=-\frac{2}{3}(m^2+1)x_B+\frac{m}{3}+\frac{2}{3}[/TEX]
Ta lại có:
[TEX]\left{x_A+x_B=-2m\\x_A.x_B=-1[/TEX]
Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì: [TEX]y_A.y_B<0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \ -4m(m^3-m^2-\frac{5}{4}m-3)<0[/TEX]
Đến đây các bạn có thể sử dụng phương pháp Cardano để giải nghiệm ở trong ngoặc. Mình thì ngại giải nên bấm máy tính được [TEX]m \approx 2,1934[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \ m \in (-\infty ;0) \cup (2,1394, +\infty) (I)[/TEX]
Ta có pt hoành độ giao điểm:
[TEX]x^3+3mx^2-3x+3m+2=0 (1)[/TEX]
Giả sử pt trên có 3 nghiệm phân biệt là [TEX]x_1, x_2, x_3[/TEX]. Do đó ta có thể phân tích (1) thành:
[TEX](x-x_1)(x-x_1)(x-x_1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \ x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+x_1x_2x_3=0 (2)[/TEX]
Đồng nhất thức (1) và (2) ta được:
[TEX]\left{x_1+x_2+x_3=-3m\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3\\x_1x_2x_3=-3m-2[/TEX]
Ta có [TEX]x_1^2+x_2^2+x_3^2>15[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \ (x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)>15[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \ 9m^2+6>15 \Rightarrow \ m \in (-\infty ; -1) \cup (1;+ \infty) (II)[/TEX]
Từ (I) và (II)
[TEX]\Rightarrow \ m \in (-\infty ;-1) \cup (2,1394, +\infty)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn