tim m để hs y=[TEX]\frac{mx^2-x+m}{mx-1}[/TEX],m#0 có cưc đại ,cực tiểu mà yct=2ycđ
Đánh giá
- dạng : cực trị
- yêu cầu : tìm m
- điều kiện :
1/ để có 2 cực trị
2/ 2 cực trị thoả mãn [TEX]y_{cd}=2y_{ct}[/TEX]
Xác định hướng làm
- công cụ : đạo hàm, kiến thức về tam thức bậc 2, có thể có viet
- giải quyết lần lượt 2 yêu cầu trên, mỗi TH cho 1 khoảng giá trị của m. lấy giao cuar 2 khoảng đó là ra giá trị m cần tìm
Chiến thôi 
TXD : D = R \ [TEX]\frac{1}{m}[/TEX] (m # 0)
[TEX]y'=\frac{m^2x^2-2mx-(m^2-1)}{(mx-1)^2} = \frac{g(x)}{(mx-1)^2}[/TEX]
1. Để hàm số có cực đại cực tiểu -> pt [TEX]y'=0[/TEX] có 2 nghiệm đơn phân biệt
-> [TEX]g(x)=0[/TEX] phải có 2 nghiệm đơn phân biệt và khác [TEX]\frac{1}{m}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a\neq 0& \\ \Delta_g > 0 & \\ g(\frac{1}{m})\neq 0\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}m\neq 0& \\ m^4> 0 & \\ m\neq 0\end{matrix}\right.[/TEX]
-> [TEX]m\neq 0[/TEX]
(I)
2. giả sử khi đó [TEX]g(x)=0[/TEX] có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 với x1 < x2
-> [TEX]x_1 = \frac{1}{m}-1 , x_2 = \frac{1}{m}+1[/TEX]
Đây chính là hoành độ của 2 điểm cực trị, tung độ tương ứng sẽ là y1, y2
ta có g(x) là một tam thức bậc hai có hệ số [TEX]a = m^2 > 0[/TEX] nên dấu của g(x) (cũng chính là dấu của y') sẽ như sau
-> x1 là điểm cực đại, x2 là điểm cực tiểu của hàm số -> yêu cầu 2 trở thành tìm m để [TEX]y_2 = 2y_1[/TEX]
Chú ý : với hàm phân thức [TEX]y=\frac{p(x)}{q(x)}[/TEX] thì tại cực trị ta có [TEX]y= \frac{p'(x)}{q'(x)}[/TEX]
c/m :
[TEX]y=\frac{p(x)}{q(x)} \Rightarrow y' = \frac{p'(x).q(x)-q'(x).p(x)}{q^2(x)}[/TEX]
Tại cực trị thì [TEX]y' = 0[/TEX] nên [TEX]\frac{p'(x).q(x)-q'(x).p(x)}{q^2(x)} = 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow p'(x).q(x)=q'(x).p(x) \Rightarrow \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p'(x)}{q'(x)} -> dpcm[/TEX]
Trở lại bài toán
Áp dụng điều trên ta có, tại cực trị thì [TEX]y=\frac{(2mx-1)}{m}=2x-\frac{1}{m}[/TEX]
-> [TEX]y_1= \frac{1}{m}-2[/TEX], [TEX]y_2= \frac{1}{m}+2[/TEX]
Từ điều kiện [TEX]y_2=2y_1[/TEX] -> [TEX]m={-}\frac{1}{6}[/TEX]
(II)
Gộp (I) và (II) ta được giá trị cần tìm của m là [TEX]m={-}\frac{1}{6}[/TEX]
P/s : đã sửa, nãy nhầm cái [TEX]\Delta[/TEX] với [TEX]x[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
