Toán 10 Tìm m sao cho PA+PB lớn nhất

[Vĩnh Sương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ [imath]O x y[/imath], cho các điểm [imath]A(0 ; 1), B(2 ;-1)[/imath] và các đường thẳng [imath]d_{1}:(m-1) x+(m-2) y+2-m=0, d_{2}:(2-m) x+(m-1) y+3 m-5=0[/imath]
a) Chứng minh [imath]d_{1}[/imath] và [imath]d_{2}[/imath] luôn cắt nhau.
b) Gọi [imath]P[/imath] là giao điểm của [imath]d_{1}[/imath] và [imath]d_{2}[/imath]. Tìm [imath]m[/imath] sao cho [imath]P A+P B[/imath] lớn nhất.
Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.
@vangiang124 @Cáp Ngọc Bảo Phương @Mộc Nhãn

 

[Alice_www]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ [imath]O x y[/imath], cho các điểm [imath]A(0 ; 1), B(2 ;-1)[/imath] và các đường thẳng [imath]d_{1}:(m-1) x+(m-2) y+2-m=0, d_{2}:(2-m) x+(m-1) y+3 m-5=0[/imath]
a) Chứng minh [imath]d_{1}[/imath] và [imath]d_{2}[/imath] luôn cắt nhau.
b) Gọi [imath]P[/imath] là giao điểm của [imath]d_{1}[/imath] và [imath]d_{2}[/imath]. Tìm [imath]m[/imath] sao cho [imath]P A+P B[/imath] lớn nhất.
Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.
@vangiang124 @Cáp Ngọc Bảo Phương @Mộc Nhãn

Vĩnh Sương
a) VTPT của [imath]d_1; d_2[/imath] lần lượt là [imath]\overrightarrow{u_1}=(m-1; m-2); \overrightarrow{u_2}=(2-m;m-1)[/imath]
Ta có: [imath]\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=(m-1)(2-m)+(m-2)(m-1)=0\: \forall m[/imath]
[imath]\Rightarrow \overrightarrow{u_1}\bot \overrightarrow{u_2}[/imath]
[imath]\Rightarrow d_1; d_2[/imath] luôn cắt nhau
b) [imath]d_1\cap d_2={P}[/imath]
[imath]\overrightarrow{AB}=(2;-2)[/imath]
Nhận xét [imath]A(0;1)\in d_1; B(2;-1)\in d_2[/imath]
[imath]\Rightarrow PA\bot PB[/imath]
[imath]\Rightarrow PA^2+PB^2=AB^2=8[/imath]
[imath]PA+PB\le \sqrt{2(PA^2+PB^2)}=\sqrt{16}=4[/imath]
Dâu "=" xảy ra khi và chi khi [imath]PA=PB=2[/imath]
[imath]PA\bot PB\Rightarrow P[/imath] thuộc đường tròn đường kính [imath]AB[/imath]
mà [imath]PA=PB\Rightarrow P[/imath] nằm giữa cung [imath]AB[/imath]
Gọi [imath]I(1;0)[/imath] là trung điểm của AB
pt dường tròn đường kính AB là: [imath](x-1)^2+y^2=2[/imath]
PT đường thẳng qua [imath]I[/imath] và vuông góc với AB là: [imath]\Delta: x-1-y=0[/imath]
khi đó P là giao điểm của [imath]\Delta[/imath] và [imath](C)[/imath]
[imath]\left\{\begin{matrix}x-1-y=0\\(x-1)^2+y^2=2\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=x-1\\(x-1)^2=1\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Rightarrow \left[\begin{matrix}x=2; y=1\\x=0;y=-1\end{matrix}\right.[/imath]
Vậy [imath]P(2;1)[/imath] hoặc [imath]P(0;-1)[/imath] thì [imath](PA+PB)_{max}[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em tham khảo thêm tại Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 

[Rapunzel Simpson]

a) VTPT của [imath]d_1; d_2[/imath] lần lượt là [imath]\overrightarrow{u_1}=(m-1; m-2); \overrightarrow{u_2}=(2-m;m-1)[/imath]
Ta có: [imath]\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=(m-1)(2-m)+(m-2)(m-1)=0\: \forall m[/imath]
[imath]\Rightarrow \overrightarrow{u_1}\bot \overrightarrow{u_2}[/imath]
[imath]\Rightarrow d_1; d_2[/imath] luôn cắt nhau
b) [imath]d_1\cap d_2={P}[/imath]
[imath]\overrightarrow{AB}=(2;-2)[/imath]
Nhận xét [imath]A(0;1)\in d_1; B(2;-1)\in d_2[/imath]
[imath]\Rightarrow PA\bot PB[/imath]
[imath]\Rightarrow PA^2+PB^2=AB^2=8[/imath]
[imath]PA+PB\le \sqrt{2(PA^2+PB^2)}=\sqrt{16}=4[/imath]
Dâu "=" xảy ra khi và chi khi [imath]PA=PB=2[/imath]
[imath]PA\bot PB\Rightarrow P[/imath] thuộc đường tròn đường kính [imath]AB[/imath]
mà [imath]PA=PB\Rightarrow P[/imath] nằm giữa cung [imath]AB[/imath]
Gọi [imath]I(1;0)[/imath] là trung điểm của AB
pt dường tròn đường kính AB là: [imath](x-1)^2+y^2=2[/imath]
PT đường thẳng qua [imath]I[/imath] và vuông góc với AB là: [imath]\Delta: x-1-y=0[/imath]
khi đó P là giao điểm của [imath]\Delta[/imath] và [imath](C)[/imath]
[imath]\left\{\begin{matrix}x-1-y=0\\(x-1)^2+y^2=2\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=x-1\\(x-1)^2=1\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Rightarrow \left[\begin{matrix}x=2; y=1\\x=0;y=-1\end{matrix}\right.[/imath]
Vậy [imath]P(2;1)[/imath] hoặc [imath]P(0;-1)[/imath] thì [imath](PA+PB)_{max}[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em tham khảo thêm tại Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Alice_wwwAnh/ Chị giải thích cho em câu b dòng bất phương trình đó với ạ

 

[Rapunzel Simpson]

Anh/ Chị giải thích cho em câu b dòng bất phương trình đó với ạ