Toán 11 Tìm m nguyên để hàm số xác định

[boywwalkman]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]y=\frac{28}{\sqrt{sin^2x-msinx+1}}[/tex], tìm m để hàm số xác định trên R.
Giúp mình bài này với, mình cảm ơn. (không dùng cách đạo hàm, bảng biến thiên)

 

[iceghost]

Cho [tex]y=\frac{28}{\sqrt{sin^2x-msinx+1}}[/tex], tìm m để hàm số xác định trên R.
Giúp mình bài này với, mình cảm ơn. (không dùng cách đạo hàm, bảng biến thiên)

ycbt $\iff f(x) = x^2 - mx + 1 > 0, \forall x \in [-1, 1]$

Nếu bạn biết rằng, bài này phải dùng đạo hàm với bảng biến thiên là quá tiện lợi rồi Bạn cứ để ý, không xài được đạo hàm/bảng biến thiên cho các bài lớp dưới thì chỉ có dùng hàm bậc 2 thôi, thông qua "định lý về dấu của tam thức bậc hai" mà bạn đã học ở lớp 10.

Xét $\Delta = m^2 - 4$.

• Nếu $\Delta < 0$ tức phương trình vô nghiệm thì rõ ràng ycbt được thỏa mãn.
• Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x = 1$ hoặc kép $x = -1$, loại vì không thỏa mãn đk.
• Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đây là trường hợp mà ta quan tâm. Để $f(x) > 0$ thì hai nghiệm không được nằm trong khoảng $[-1, 1]$ rồi.

Nếu $x_1 < -1 < 1 < x_2$ thì bạn phác thảo hình vẽ, sẽ thấy $f(x) < 0$ trên $[-1, 1]$. Loại.

Như vậy chỉ còn 2TH:

• TH1: $x_1 < x_2 < -1$ thì $\begin{cases} \dfrac{x_1 + x_2}2 < -1 \\ f(-1) = m + 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < -2 \\ m > -2 \end{cases}$ (vô lý)
  
  
• TH2: $1 < x_1 < x_2$ thì $\begin{cases} 1 < \dfrac{x_1 + x_2}2 \\ f(1) = 2 - m > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m > 2 \\ m < 2 \end{cases}$ (vô lý)

Ồ, lạ nhỉ. Nhìn lại, ta có một cách để giải quyết nhanh gọn trường hợp $\Delta > 0$ là: $f(-1) \cdot f(1) = (2 + m)(2 - m) = 4 - m^2 < 0$ nên luôn tồn tại một nghiệm trong khoảng $[-1, 1]$. Loại luôn TH này

Vậy chỉ có $\Delta < 0$ hay $-2 < m < 2$ là thỏa.

Nếu không có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi bên dưới. Chúc bạn học tốt!

 

[boywwalkman]

ycbt $\iff f(x) = x^2 - mx + 1 > 0, \forall x \in [-1, 1]$

Nếu bạn biết rằng, bài này phải dùng đạo hàm với bảng biến thiên là quá tiện lợi rồi Bạn cứ để ý, không xài được đạo hàm/bảng biến thiên cho các bài lớp dưới thì chỉ có dùng hàm bậc 2 thôi, thông qua "định lý về dấu của tam thức bậc hai" mà bạn đã học ở lớp 10.

Xét $\Delta = m^2 - 4$.

• Nếu $\Delta < 0$ tức phương trình vô nghiệm thì rõ ràng ycbt được thỏa mãn.
• Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x = 1$ hoặc kép $x = -1$, loại vì không thỏa mãn đk.
• Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đây là trường hợp mà ta quan tâm. Để $f(x) > 0$ thì hai nghiệm không được nằm trong khoảng $[-1, 1]$ rồi.

Nếu $x_1 < -1 < 1 < x_2$ thì bạn phác thảo hình vẽ, sẽ thấy $f(x) < 0$ trên $[-1, 1]$. Loại.

Như vậy chỉ còn 2TH:

• TH1: $x_1 < x_2 < -1$ thì $\begin{cases} \dfrac{x_1 + x_2}2 < -1 \\ f(-1) = m + 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m < -2 \\ m > -2 \end{cases}$ (vô lý)
  
  
• TH2: $1 < x_1 < x_2$ thì $\begin{cases} 1 < \dfrac{x_1 + x_2}2 \\ f(1) = 2 - m > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m > 2 \\ m < 2 \end{cases}$ (vô lý)

Ồ, lạ nhỉ. Nhìn lại, ta có một cách để giải quyết nhanh gọn trường hợp $\Delta > 0$ là: $f(-1) \cdot f(1) = (2 + m)(2 - m) = 4 - m^2 < 0$ nên luôn tồn tại một nghiệm trong khoảng $[-1, 1]$. Loại luôn TH này

Vậy chỉ có $\Delta < 0$ hay $-2 < m < 2$ là thỏa.

Nếu không có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi bên dưới. Chúc bạn học tốt!

Vậy là mấu chốt bài toán là đánh giá tinh tế sao cho xử lí được trường hợp delta > 0 đúng không ạ?

 

[iceghost]

Vậy là mấu chốt bài toán là đánh giá tinh tế sao cho xử lí được trường hợp delta > 0 đúng không ạ?

Mình thích cách dùng bảng biến thiên hơn vì nó phù hợp với mình, nhanh gọn. Mình cũng thích cách dùng định lý tam thức bậc 2 vì nó là một cách có trình tự bài bản, phù hợp cho lớp dưới. Cách dùng tích $f(-1) \cdot f(1)$ tuy đẹp thật nhưng đây là một cách sinh ra từ quá trình mình làm thôi

Tóm lại, tùy vào cách bạn định nghĩa mấu chốt bài toán là gì Mình thấy bài toán này có nhiều cách giải, thành ra mấu chốt là bạn chọn ra cách giải phù hợp cho mình thôi