Tìm [imath]m;n[/imath] nguyên dương sao cho [imath]3^m+4^n[/imath] là 1 số chính phương
UlyanaĐặt [imath]3^m+4^n=a^2 (a\in \mathbb{N}^*)[/imath]
Suy ra [imath](a+2^n)(a-2^n) =3^m[/imath]
Suy ra [imath]a+2^n=3^i ; a-2^n=3^j (i>j; i,j \in \mathbb{N};i+j=m)[/imath]
[imath]\Rightarrow 3^i-3^j = 2^{n+1}[/imath]
[imath]\Rightarrow j=0; 3^m-1=2^{n+1}[/imath]
Do n nguyên dương nên [imath]3^m[/imath] chia 4 dư 1, nên m chẵn.
Đặt [imath]m=2k[/imath] với k nguyên dương.
Suy ra [imath]2^{n+1} = (3^k-1)(3^k+1)[/imath]
Suy ra [imath]3^k-1=2^x; 3^k+1=2^y (x<y; x+y=n+1; x,y\in \mathbb{N})[/imath]
[imath]\Rightarrow 2^y -2^x=2 \Rightarrow y=2; x=1\Rightarrow n=2; k=1[/imath]
Vậy [imath]m=n=2[/imath] thỏa mãn đề bài.
Ngoài ra mời bạn tham khảo: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
