Toán 12 Tìm m để $y=\frac{mx^{2}+m+1}{mx+1}$ ĐB trên $(0,+\infty )$

[Moihoccode]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tập hợp bao gồm tất cả các giá trị tham so m để hàm số y= (mx^2 + m + 1)/(mx + 1) đồng biến trên khoảng (0;+vc)

 

[Timeless time]

Ta có [tex]y=\frac{mx^{2}+m+1}{mx+1}\rightarrow y'=\frac{m^{2}x^{2}+2mx-m^{2}-m}{(mx+1)^{2}}[/tex]
Để hàm số đồng biến trên [tex](0;+\infty )[/tex] thì
[tex]\left\{\begin{matrix} y'>0\forall x\in (0,+\infty ) & \\ -\frac{1}{m} \notin (0,+\infty )& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}x^{2}+2mx-m^{2} -m>0& \\ m\geq 0& \end{matrix}\right.[/tex]
+ Xét m=0
=> y=1 là hàm hằng => hàm số không đồng biến và nghịch biến => m=0 ( loại )
+ Xét [tex]m\neq 0[/tex]
Ta có [tex]\Delta '=m^{4}+m^{3}+m^{2}\geq 0\forall m[/tex]
- [tex]\Delta '=0=>m=0[/tex] (loại)
- [tex]\Delta > 0[/tex] => phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2(x1<x2)
=> y' đồng biến trên [tex](x_{2},+\infty )[/tex] => [tex](x_{2},+\infty )[/tex] phải chứa [tex](0,+\infty )[/tex] => [tex]x_{2}\leq 0[/tex]
=>[tex]\frac{-m+\sqrt{m^{4}+m^{3}+m^{2}}}{m^{2}}\leq 0[/tex] [tex]=> -m+\sqrt{m^{4}+m^{3}+m^{2}}\leq 0=>-1\leq m\leq 0[/tex] kết hợp với ĐK m>0
=> Không có m thỏa mãn
@Am Mathematics bạn xem giúp mình làm sai ở đâu nhỉ, tìm không thấy m thỏa mãn

 

[Ngoc Anhs]

Ta có [tex]y=\frac{mx^{2}+m+1}{mx+1}\rightarrow y'=\frac{m^{2}x^{2}+2mx-m^{2}-m}{(mx+1)^{2}}[/tex]
Để hàm số đồng biến trên [tex](0;+\infty )[/tex] thì
[tex]\left\{\begin{matrix} y'>0\forall x\in (0,+\infty ) & \\ -\frac{1}{m} \notin (0,+\infty )& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}x^{2}+2mx-m^{2} -m>0& \\ m\geq 0& \end{matrix}\right.[/tex]
+ Xét m=0
=> y=1 là hàm hằng => hàm số không đồng biến và nghịch biến => m=0 ( loại )
+ Xét [tex]m\neq 0[/tex]
Ta có [tex]\Delta '=m^{4}+m^{3}+m^{2}\geq 0\forall m[/tex]
- [tex]\Delta '=0=>m=0[/tex] (loại)
- [tex]\Delta > 0[/tex] => phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2(x1<x2)
=> y' đồng biến trên [tex](x_{2},+\infty )[/tex] => [tex](x_{2},+\infty )[/tex] phải chứa [tex](0,+\infty )[/tex] => [tex]x_{2}\leq 0[/tex]
=>[tex]\frac{-m+\sqrt{m^{4}+m^{3}+m^{2}}}{m^{2}}\leq 0[/tex] [tex]=> -m+\sqrt{m^{4}+m^{3}+m^{2}}\leq 0=>-1\leq m\leq 0[/tex] kết hợp với ĐK m>0
=> Không có m thỏa mãn
@Am Mathematics bạn xem giúp mình làm sai ở đâu nhỉ, tìm không thấy m thỏa mãn

Mình nghĩ là bạn làm đúng rồi đó
Cơ mà

=> y' đồng biến trên [tex](x_{2},+\infty )[/tex]

Cái này là $y'>0$ trên [tex]\left ( x_2;+\infty \right )[/tex] chứ không phải đồng biến

 

[Timeless time]

Mình nghĩ là bạn làm đúng rồi đó
Cơ mà

Cái này là $y'>0$ trên [tex]\left ( x_2;+\infty \right )[/tex] chứ không phải đồng biến

y'>0 trên (x2,+oo) thì cũng có nghĩa là đồng biến chứ, khác ở chỗ nào nhỉ

 

[Ngoc Anhs]

y'>0 trên (x2,+oo) thì cũng có nghĩa là đồng biến chứ, khác ở chỗ nào nhỉ

$y’’>0$ thì $y’$ mới đồng biến chứ ạ
Còn $y’>0$ sao có thể đồng nghĩa với $y’$ đồng biến được