Cách giải này dùng cho lớp 12
Tìm m để những pt sau có nghiệm
1. [tex]sin^3x + cos^3x + 2sin^2x.cos^2x - 3m +5 = 0(1)[/tex]
Đặt [TEX]t=sinx+cosx,|t| \leq \sqrt{2}(2) \Rightarrow t^2=1+2sinxcosx \Rightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}[/TEX]
[TEX]t^3=sin^3x+cos^3x+3sinxcosx(sinx+cosx) \Rightarrow sin^3x+cos^3x=t^3-3t.frac{t^2-1}{2}=\frac{-t^3+3t}{2}[/TEX]
Thế vào PT ta được:
[TEX]6m-10=t^4-t^3-2t^2+3t+1 \Leftrightarrow g(m)=f(t)(2)[/TEX]
[TEX]f(t)=t^4-t^3-2t^2+3t+1[/TEX]
[TEX]g(m)=6m-10[/TEX]
Để PT (1) có nghiệm thì PT (3) có nghiệm t thỏa mãn (2) \Leftrightarrow Minf(t) \leq g(m) \leq Maxf(t)
Xét hàm f(t) với t thỏa mãn (2):
[TEX]f'(t)=4t^3-3t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=1}\\{t=-1}\\{t=\frac{3}{4}}[/TEX]
[TEX]f(1)=2,f(-1)=-2,f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+1,f(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}+1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Minf(x)=-2,Maxf(x)=\sqrt{2}+1[/TEX]
Vậy PT có nghiệm khi và chỉ khi:
[TEX] -2 \leq 6m-10 \leq \sqrt{2}+1 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \leq m \leq \frac{11+\sqrt{2}}{6}[/TEX]
2. [tex] \frac{sin5x}{sinx} = m[/tex]
[TEX]DK:sinx \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow sin5x=msinx(1) \Leftrightarrow sin5x-sin3x+sin3x-sinx=(m-1)sinx[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2cos4x.sinx+2cos2xsinx=(m-1)sinx[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2cos4x+2cos2x=m-1 \Leftrightarrow 4cos^22x+2cos2x-1=m(2)[/TEX]
[TEX]+)sinx=0 \Leftrightarrow cos2x=1 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow m=5[/TEX]
Thay ngược lại vào PT(5):
[TEX]4cos^2x+2cos2x-6=0 \Leftrightarrow \left[\begin{cos2x=1}\\{cos2x=\frac{-3}{2}} \Rightarrow PT(1) VN[/TEX]
\Rightarrow
m=5 không thỏa mãn
Đặt [TEX]t=cos2x,|t| \leq 1 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow f(t)=4t^2+2t-1=m(3)[/TEX]
Để PT(1) có nghiệm thì PT (3) có nghiệm khác 1 \Leftrightarrow Minf(t) \leq m \leq Maxf(t) và m khác 5
Xét hàm f(t) với |t| \leq 1
[TEX]f'(t)=8t+1=0 \Leftrightarrow t=\frac{-1}{4}[/TEX]
[TEX]f(-1)=1,f(1)=5,f(-\frac{1}{4})=\frac{-5}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Maxf(t)=5,Minf(t)=\frac{5}{4}[/TEX]
Vậy PT có nghiệm [TEX]\Leftrightarrow \frac{-5}{4} \leq m < 5[/TEX]
3. [tex] \sqrt[2]{x+3} + \sqrt[2]{5-x} - \sqrt[2]{(x+3)(5-x)} = m(1)[/tex]
Đặt [TEX]t=\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x} \Rightarrow t^2=8+2\sqrt{(x+3)(5-x)} \geq 8(2)[/TEX]
[TEX]2\sqrt{(x+3)(5-x)} \leq x+3+5-x=8 \Rightarrow t^2 \leq 16(3)[/TEX]
Từ (2) và (3) \Rightarrow [TEX]8 \leq t^2 \leq 16 \Leftrightarrow 2\sqrt{2} \leq t \leq 4(*)[/TEX]
Thay vào PT(1) ta được:
[TEX]f(t)=t-\frac{t^2-8}{2}=m,t TM (*)[/TEX]
Để PT(1) có nghiệm thì PT f9t)=m có nghiệm t thỏa mãn (*) \Leftrightarrow Minf(t) \leq m \leq Maxf(t)
[TEX]f(t)=1-t=0 \Leftrightarrow t=1[/TEX]
[TEX]f(1)=\frac{9}{2},f(2\sqrt{2})=2\sqrt{2},f(4)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Minf(t)=0,Maxf(t)=\frac{9}{2}[/TEX]
Vậy: [TEX]0 \leq m \leq \frac{9}{2}[/TEX]
4. [tex] \sqrt[2]{x+6} + \sqrt[2]{3-x} - m\sqrt[2]{(x+6)(3-x)} + 1 =0(1)[/tex]
Đặt [TEX]t=\sqrt{6}+\sqrt{3-x} \Rightarrow 3 \leq t \leq 3\sqrt{2}(*)[/TEX]
[TEX]t^2=9+2\sqrt{(x+6)(3-x)}[/TEX]
Thay vào PT ta được:
[TEX]t+1-m.\frac{t^2-9}{2}=0(2)[/TEX]
Dễ thấy m=0 thì PT (2) VN \Rightarrow PT (1) VN
[TEX]m \neq 0 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow f(t)=\frac{t^2-9}{2(t+1)}=\frac{1}{m}(3)[/TEX]
Để PT(1) có nghiệm thì PT(3) có nghiệm t thỏa mãn (*) \Leftrightarrow [TEX]Minf(t) \leq \frac{1}{m} \leq Maxf(t)[/TEX]
[TEX]f'(t)=\frac{2t^2+4t+18}{49t+1)^2} > 0 \forall t \in [3;3\sqrt{3}][/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(3) \leq f(t) \leq f(3\sqrt{2}) \Rightarrow 0 \leq m \leq \frac{9}{2(3\sqrt{2}+1)}[/TEX]
Vậy:[TEX]m \geq \frac{2(3\sqrt{2}+1)}{9}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn