Cho $0<m \ne 1$. Gọi $a,b$ là tập hợp các giá trị của $m$ để bất phương trình $\log_m(1-8m^{-x})\ge 2(1-x)$ có hữu hạn nghiệm nguyên.
Mọi người cho em hỏi bài này mình nên làm như nào ạ Log cơ số m của (1-8m^-x)>=2(1-x)
$\log_m(1-8m^{-x})\ge 2(1-x)$
ĐK: $1-8m^{-x}>0\Rightarrow m^{-x}<\dfrac{1}{8}$
TH1: $m>1$
$m^{-x}<\dfrac{1}{8}\Rightarrow -x<\log_m(\dfrac{1}{8})\Rightarrow x>-\log_m(\dfrac{1}{8})$
bpt$\Leftrightarrow 1-8m^{-x}\ge m^{2-2x}$
$\Leftrightarrow m^{2x-2}-8m^{x-2}+\dfrac{16}{m^2}\ge 1+\dfrac{16}{m^2}$
$\Leftrightarrow (m^{x-1}-\dfrac{4}{m})^2\ge 1+\dfrac{16}{m^2}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m^{x-1}\ge \sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\quad (1)\\m^{x-1}\le -\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\quad (2)\end{matrix}\right.$
(2) loại do VT>0>VP
(1) $\Leftrightarrow x-1\ge \log_m\left(\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\right)$
$\Leftrightarrow x \ge \log_m\left(\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\right)+1$
Với $\forall m>1$ thì $\log_m\left(\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\right)+1;-\log_m(\dfrac{1}{8}) \in \mathbb{R}$
Vậy với $\forall m>1$ thì bpt có vô số nghiệm
TH2: $0<m<1$
$m^{-x}<\dfrac{1}{8}\Rightarrow -x>\log_m(\dfrac{1}{8})\Rightarrow x<-\log_m(\dfrac{1}{8})$
bpt$\Leftrightarrow 1-8m^{-x}\le m^{2-2x}$
$\Leftrightarrow -\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\le m^{x-1}\le \sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}$
$\Leftrightarrow x \ge \log_m\left(\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\right)+1$ (do $m^{x-1}>0$)
Ta có ĐK: $x<-\log_m(\dfrac{1}{8})$
BPT có hữu hạn nghiệm khi và chỉ khi
$-\log_m(\dfrac{1}{8})> \log_m\left(\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{4}{m}\right)+1$
$\Leftrightarrow \log_m\left(\dfrac{1}{8}\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{1}{2m}\right)<-1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\sqrt{1+\dfrac{16}{m^2}}+\dfrac{1}{2m}>\dfrac{1}{m}$
Tới đây em tiếp tục làm tiếp nhé
Có gì khúc mắc em hỏi lại nha <3
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
