Toán 12 Tìm m để hàm số đồng biến

[NguyetAm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm m để hàm số [tex]y=\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}-(m+1)x+1[/tex] đồng biến trên (1;[tex]+\infty[/tex])
Mong mn giúp đỡ

 

[Ngoc Anhs]

Tìm m để hàm số [tex]y=\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}-(m+1)x+1[/tex] đồng biến trên (1;[tex]+\infty[/tex])
Mong mn giúp đỡ

Tìm m để hàm số [tex]y=\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}-(m+1)x+1[/tex] đồng biến trên (1;[tex]+\infty[/tex])
Mong mn giúp đỡ

[tex]y'=x^2+2(m+1)x-(m+1)[/tex]
Để hàm đồng biến trên [tex]\left ( 1:+\infty \right )[/tex] thì [tex]y'\geq 0,\forall x\in \left ( 1;+\infty \right )[/tex]

• TH1: [tex]y'\geq 0, \forall x\in \mathbb{R} \ \Leftrightarrow \Delta '\leq 0[/tex] (bạn tự tính nhé)
• TH2: pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt ( tức là [tex]\Delta '> 0[/tex] thì [tex]y'\geq 0\Leftrightarrow x\in \left (-\infty ;x_1 \right ]\cup \left [ x_2;+\infty \right ) \ (x_1< x_2)[/tex]. Để [tex]y'\geq 0,\forall x\in \left ( 1;+\infty \right )[/tex] thì [tex](1;+\infty )\subset \left [ x_2;+\infty \right )\Leftrightarrow x_1< x_2\leq 1[/tex] (vẽ trục số ra là hiểu). [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta '> 0\\ 1.f(1)\geq 0\\ \frac{S}{2}<1 \end{matrix}\right.[/tex]

Tự làm tiếp nhé

 

[iceghost]

Tìm m để hàm số [tex]y=\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}-(m+1)x+1[/tex] đồng biến trên (1;[tex]+\infty[/tex])
Mong mn giúp đỡ

ycbt $\iff y' = x^2 + 2(m + 1)x - (m + 1) \geqslant 0, \forall x \in (1; + \infty)$
Những bài liên quan đến tam thức bậc 2 trên khoảng như thế này thì nên ưu tiên cô lập $m$ trước, nếu cô lập không được thì mới tính đến chuyện dùng Vi-ét hay định lý về dấu của tam thức bậc 2... (ít gặp lắm)

ycbt $\iff m + 1 \geqslant -\dfrac{x^2}{2x - 1}, \forall x \in (1; +\infty)$ (do $2x - 1 > 0$ nên chia xuống thoải mái, nếu không được thì phải xét TH...)
Tới đây xét $g(x) = -\dfrac{x^2}{2x - 1}$ trên $(1; +\infty)$
$g'(x) = -\dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2}$
$
\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & & +\infty \\
\hline
y' & & - \\
\hline
y & -1 & & \\
& & \searrow & \\
& & & -\infty
\end{array}
$
Vậy để $m+1 \geqslant g(x), \forall x \in (1 ; +\infty)$ thì $m + 1 \geqslant -1$ hay $m \geqslant -2$