$y = \dfrac{x}{2} - \sqrt{x^2-x+m}$
Do hàm số xác định trên $(-\infty, 2) \implies g(x) = x^2 - x + m \geqslant 0 \forall x \in (-\infty , 2)$
$g'(x) = 2x - 1$
$\begin{array}{c|ccc} x & - \infty & & \dfrac{1}2 & & 2 \\
\hline
g'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
& +\infty & & & & 2 + m \\
g(x) & & \searrow & & \nearrow & \\
& & & -\dfrac{1}{4} + m & &
\end{array}$
Để $g(x) \geqslant 0$ trên khoảng $(-\infty , 2)$ thì $-\dfrac{1}{4} + m \geqslant 0$ hay $m \geqslant \dfrac{1}{4}$
$y' = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2x - 1}{2\sqrt{x^2-x+m}}$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty, 2) \iff y' \geqslant 0 \ \forall x \in (-\infty, 2)$
$y'' = - \dfrac{2 \sqrt{x^2-x + m} - (2x-1) \cdot \dfrac{2x-1}{2 \sqrt{x^2-x+m}}}{2(x^2 - x + m)}$
$= -\dfrac{4(x^2 - x + m) - (2x-1)^2}{4(x^2-x+m)\sqrt{x^2-x+m}}$
$= -\dfrac{4m - 1}{4(x^2-x+m)\sqrt{x^2-x+m}} \leqslant 0$ do $m \geqslant \dfrac{1}{4}$
Nếu $m = \dfrac{1}{4}$ thì $y'' = 0$, khi đó $y'(x) = y'(2)$. Còn $m > \dfrac{1}{4}$ thì ta có bảng
$\begin{array}{c|ccc} x & - \infty & & 2 \\
\hline
y'' & & - & \\
\hline
& \dfrac{3}{2} & & \\
y' & & \searrow & \\
& & & y'(2)
\end{array}$
Trong cả hai trường hợp, để $y' \geqslant 0 \forall x \in (-\infty, 2)$ thì $y'(2) \geqslant 0 \iff \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2\sqrt{2 + m}} \geqslant 0 \implies m \geqslant 7$
Bài định $m$ lớp 12 đầu tiên mình làm, có gì sai sót mong được chỉ bảo
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
