- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Phương pháp chung:
Để 2 điểm cực trị của hàm số f(x) đối xứng nhau qua đường thẳng d, ta làm như sau:
Cách 1:
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A,B theo m.
+ Tìm tọa độ trung điểm I của AB bằng công thức trung điểm.
+ I phải thuộc d. Đồng thời vecto AB phải vuông góc với vecto chỉ phương của d. Giải hệ điều kiện này, ta tìm ra m.
Cách giải này áp dụng với bài toán mà [TEX]f'(x)[/TEX] dễ phân tích nhân tử, để tìm ra được A,B. Ví dụ như là:
[TEX]f'(x)=6x^2-6mx=6x(x-m)[/TEX]
Cách 2:
+Tìm điều kiện để hàm có 2 cực trị A,B
+Sử dụng công thức đường thẳng đi qua 2 cực trị: [tex]\frac{y}{y'}[/tex] lấy phần dư đối với hàm bậc 3.
+ Tìm tọa độ I theo A,B bằng cách sử dụng định lý Vi-ét.
+Tọa độ I phải thuộc d. Đồng thời d phải vuông góc AB. Giải hệ điều kiện tìm được m.
Đây là cách làm chung. Tuy nhiên, các bài được hỏi đến thường là hàm bậc 3. Nên ta có 1 tính chất sau có thể áp dụng để giải bài toán nhanh hơn:
Trung điểm I của 2 điểm cực trị A,B chính là điểm uốn của đồ thị. Như vậy ta có thể tìm tọa độ I bằng cách giải phương trình : [TEX]f''(x)=0[/TEX]
1. Cho hàm số:[tex]y=x^3-3mx^2+4m^3[/tex] . Tìm m để y có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=2x.
Ta có: [TEX]y'=3x^2-6mx=3x(x-2m)[/TEX]
[TEX]y'=0<=>x=0;x=2m[/TEX]
Để y có 2 cực trị thì [TEX]m \neq 0[/TEX]
Gọi A,B là 2 điểm cực trị => [TEX]A(0;4m^3),B(2m;0)[/TEX]
=> [TEX]I(m;2m^3)[/TEX] với I là trung điểm AB
Để y thuộc d thì: [TEX]2m=2m^3<=>m=0;m=1;m=-1[/TEX]
m=0 loại luôn vì không thỏa mãn điều kiện.
Với [TEX]m=1[/TEX]=> [TEX]A(0;4),B(2;0)[/TEX]
=>[tex]\overrightarrow{AB}=(2;-4)[/tex]
[TEX]d:2x-y=0[/TEX] nên có vtcp: [tex]\overrightarrow{u}=(1;2)[/tex]
[TEX]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=-6 \neq 0[/TEX] nên AB không vuông góc với d. Vậy m=1 không thỏa mãn
Tương tự m=-1 cũng không thỏa mãn, vậy không có giá trị của m thỏa mãn.
2. Cho hàm số: [tex]y=x^3-3x^2+mx[/tex]
Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng: [tex]x-2y-5=0[/tex]
Ta có: [TEX]y'=3x^2-6x+m[/TEX]. Để pt [TEX]y'=0[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt thì:
[tex]\Delta '=9-3m>0<=>m<3[/tex]
Đây là bài mà không dễ phân tích để tìm cực trị đẹp như 2 bài trên. Như vậy ta sẽ tìm điểm uốn:
[TEX]y''=6x-6;y''=0<=>x=1[/TEX]=> [TEX]I(1;m-2)[/TEX] là trung điểm của 2 cực trị A,B
Để I thuộc d thì: [TEX]1-2(m-2)-5=0<=>m=0[/TEX]
Bây giờ ta phải thử lại xem với m=0 thì đường thẳng AB có vuông góc với d hay không.
Cách tự luận: Tính [tex]\frac{y}{y'}=\frac{x^3-3x^2+mx}{3x^2-6x+m}[/tex] lấy dư, được pt qua AB là:
[tex]y=(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m[/tex]
Với m=0 thì AB có hệ số góc k=-2
Hệ số góc của d là: [tex]k_1=\frac{1}{2}[/tex]
Do [TEX]k.k_1=-1[/TEX] nên AB và d vuông góc với nhau. Thỏa mãn
Cách trắc nghiệm: thay m=0 vào [TEX]y'[/TEX], bấm máy tìm tọa độ A,B, từ đó tìm được tọa độ [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] và thử lại tính vuông góc.
Để 2 điểm cực trị của hàm số f(x) đối xứng nhau qua đường thẳng d, ta làm như sau:
Cách 1:
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A,B theo m.
+ Tìm tọa độ trung điểm I của AB bằng công thức trung điểm.
+ I phải thuộc d. Đồng thời vecto AB phải vuông góc với vecto chỉ phương của d. Giải hệ điều kiện này, ta tìm ra m.
Cách giải này áp dụng với bài toán mà [TEX]f'(x)[/TEX] dễ phân tích nhân tử, để tìm ra được A,B. Ví dụ như là:
[TEX]f'(x)=6x^2-6mx=6x(x-m)[/TEX]
Cách 2:
+Tìm điều kiện để hàm có 2 cực trị A,B
+Sử dụng công thức đường thẳng đi qua 2 cực trị: [tex]\frac{y}{y'}[/tex] lấy phần dư đối với hàm bậc 3.
+ Tìm tọa độ I theo A,B bằng cách sử dụng định lý Vi-ét.
+Tọa độ I phải thuộc d. Đồng thời d phải vuông góc AB. Giải hệ điều kiện tìm được m.
Đây là cách làm chung. Tuy nhiên, các bài được hỏi đến thường là hàm bậc 3. Nên ta có 1 tính chất sau có thể áp dụng để giải bài toán nhanh hơn:
Trung điểm I của 2 điểm cực trị A,B chính là điểm uốn của đồ thị. Như vậy ta có thể tìm tọa độ I bằng cách giải phương trình : [TEX]f''(x)=0[/TEX]
1. Cho hàm số:[tex]y=x^3-3mx^2+4m^3[/tex] . Tìm m để y có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=2x.
Ta có: [TEX]y'=3x^2-6mx=3x(x-2m)[/TEX]
[TEX]y'=0<=>x=0;x=2m[/TEX]
Để y có 2 cực trị thì [TEX]m \neq 0[/TEX]
Gọi A,B là 2 điểm cực trị => [TEX]A(0;4m^3),B(2m;0)[/TEX]
=> [TEX]I(m;2m^3)[/TEX] với I là trung điểm AB
Để y thuộc d thì: [TEX]2m=2m^3<=>m=0;m=1;m=-1[/TEX]
m=0 loại luôn vì không thỏa mãn điều kiện.
Với [TEX]m=1[/TEX]=> [TEX]A(0;4),B(2;0)[/TEX]
=>[tex]\overrightarrow{AB}=(2;-4)[/tex]
[TEX]d:2x-y=0[/TEX] nên có vtcp: [tex]\overrightarrow{u}=(1;2)[/tex]
[TEX]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=-6 \neq 0[/TEX] nên AB không vuông góc với d. Vậy m=1 không thỏa mãn
Tương tự m=-1 cũng không thỏa mãn, vậy không có giá trị của m thỏa mãn.
2. Cho hàm số: [tex]y=x^3-3x^2+mx[/tex]
Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng: [tex]x-2y-5=0[/tex]
Ta có: [TEX]y'=3x^2-6x+m[/TEX]. Để pt [TEX]y'=0[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt thì:
[tex]\Delta '=9-3m>0<=>m<3[/tex]
Đây là bài mà không dễ phân tích để tìm cực trị đẹp như 2 bài trên. Như vậy ta sẽ tìm điểm uốn:
[TEX]y''=6x-6;y''=0<=>x=1[/TEX]=> [TEX]I(1;m-2)[/TEX] là trung điểm của 2 cực trị A,B
Để I thuộc d thì: [TEX]1-2(m-2)-5=0<=>m=0[/TEX]
Bây giờ ta phải thử lại xem với m=0 thì đường thẳng AB có vuông góc với d hay không.
Cách tự luận: Tính [tex]\frac{y}{y'}=\frac{x^3-3x^2+mx}{3x^2-6x+m}[/tex] lấy dư, được pt qua AB là:
[tex]y=(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m[/tex]
Với m=0 thì AB có hệ số góc k=-2
Hệ số góc của d là: [tex]k_1=\frac{1}{2}[/tex]
Do [TEX]k.k_1=-1[/TEX] nên AB và d vuông góc với nhau. Thỏa mãn
Cách trắc nghiệm: thay m=0 vào [TEX]y'[/TEX], bấm máy tìm tọa độ A,B, từ đó tìm được tọa độ [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] và thử lại tính vuông góc.
