Câu 3)
Xét:
$x + \frac{x}{\sqrt {x^2 - 1}} = a$ (*)
Đầu tiên ta tìm dấu của a
Đi xét:
$f(x) = x + \frac{x}{\sqrt {x^2 - 1}}$
Cho f(x) = 0, hay
$x + \frac{x}{\sqrt {x^2 - 1}} = 0 \\ \Leftrightarrow x^2 + \frac{x^2}{x^2-1} + \frac{2x^2}{\sqrt {x^2-1}} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x^4}{x^2-1} + \frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}} = 0 \\ \Leftrightarrow t^2 + 2t = 0 $ (Với t = $\frac{x^2}{\sqrt {x^2-1}}$, t > 0)
<=> t = 0 hoặc t = -2
Với t = 0 (vô lí)
Với t = -2 vô nghiệm
Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên R, lại có f(2) > 0 nên f(x) > 0 với mọi R
Trở lại với phương trình f(x) = a;
Với điều kiện xác định của f(x), dễ thấy a > 0 là điều kiện cần để (*) có nghiệm
Ta lại đi giải $f^2(x) = a^2 $
hay $\frac{x^4}{x^2-1} + \frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}} = a^2$ (**)
Vẫn tiếp tục đặt t = $\frac{x^2}{\sqrt {x^2-1}}$, t > 0, (**) trở thành
$t^2 + 2t - a^2 = 0$ (Như),
Dễ thấy (Như) luôn có nghiệm (vì $\Delta' = 1+a^2 > 0 \forall a$)
(Như) có 2 nghiệm trái dấu nhé, vì thể, ta chỉ lấy nghiệm dương: $t = \sqrt{1+a^2}-1 = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}-1}$, phương trình tương đương với
$x^4 = (\sqrt{1+a^2}-1)^2(x^2-1)$
$\Leftrightarrow x^4 - (\sqrt{1+a^2}-1)^2x^2 + (\sqrt{1+a^2}-1)^2 = 0$
Để phương trình trên có nghiệm <=> $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow u^2 - 4u \geq 0$ (Tại sao chỉ cần delta không âm?, bạn áp dụng viete nhé)
Từ đó tìm ra điều kiện của a là $a \geq \sqrt{8} $, hông biết có đúng không?
Cảm ơn @
The†FireᴥSwordᵛᶥᶯᶣ†††♥♥♥♪ và @
Nguyễn Hương Trà cho bài viết này.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
