Tìm lim

[bachngoclinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I-Sử dung định lí kẹp để tính các giới hạn sau:
1. lim[tex]\frac{1+sqrt{2}+...+sqrt{n}}{n sqrt{n}}[/tex]
2. lim[tex]\frac{1+2^2+3^3+...+n^n}{n^n}[/tex]
II-Chứng minh các dãy số sau có giới hạn hữu hạn:
1.[tex]\left\{ \begin{array}{l} a_1=a_2=1 \\ a_{n+1}=a_n + \frac{a_n-1}{n(n+1)} \end{array} \right.[/tex]
2..[tex]\left\{ \begin{array}{l} a_1=1 \\ a_{n+1}=\frac{1}{2} (a_n + \frac{2}{a_n})\end{array} \right.[/tex]

 

[nerversaynever]

1/Sử dụng bđt
[TEX]\frac{{2\left( {\sqrt {{n^3}} - \sqrt {{{\left( {n - 1} \right)}^3}} } \right)}}{3} < \sqrt n < \frac{{2\left( {\sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{n^3}} } \right)}}{3}[/TEX]
suy ra
[TEX]\frac{{2\left( {n\sqrt n } \right)}}{{3n\sqrt n }} < VT < \frac{{2\left( {\left( {n + 1} \right)\sqrt {n + 1} - 1} \right)}}{{3n\sqrt n }} \to \lim VT = \frac{2}{3}[/TEX]
2/
sử dụng bđt phụ
[TEX]{n^n} < {1^1} + {2^2} + .. + {n^n} < {\left( {n + \frac{1}{n}} \right)^n}[/TEX]
suy ra limVT=1

II.
1.
[TEX]\begin{array}{l}{a_n} \ge {a_{n - 1}}\\ \to {a_{n + 1}} \le {a_n}\left( {1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) \le .. \le {a_1}\left( {1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)...\left( {1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) \end{array}[/TEX]
cô si suy ra
[TEX]{a_{n + 1}} \le {a_1}{\left( {\frac{{n + 1 - \frac{1}{{n + 1}}}}{n}} \right)^n} < {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} < e[/TEX]
dãy tăng và bị chặn trên suy ra có lim
2 cô si
[TEX]\begin{array}{l}{a_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{a_n} + \frac{2}{{{a_n}}}} \right) \ge \sqrt 2 \\{a_{n + 1}} - {a_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2 - a_n^2}}{{{a_n}}}} \right) \le 0\end{array}[/TEX]
dãy giảm và bị chặn dưới-> có giới hạn