tìm hệ số chứa x^8

[ninja_vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm hệ số chứa [TEX]x^8[/TEX] trong khai triển của [TEX](x+3)^n[/TEX] biết :

1 + 2 [TEX]C_n^1[/TEX] + [TEX]3C_n^2 [/TEX] + ........ [TEX](n+1)C_n^n[/TEX] = 2048n + 4096

 

[kino_123]

ta xét khai triển sau:
[TEX](a+b)^n=a^nC_n^0+a^{n-1}C_n^1b+a^{n-2}C_n^2b^2+.......+a^0C_n^nb^n (1)[/TEX]
-chọn a=b=1: [TEX](1) \Rightarrow 2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+......+C_n^n[/TEX]
-chọn a=1, b=x: [TEX](1) \Rightarrow (1+x)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+x^3C_n^3+......+x^nC_n^n[/TEX]
đạo hàm 2 vế, ta được: [TEX]n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2xC_n^2+3x^2C_n^3+......+nx^{n-1}C_n^n[/TEX] (vì C_n^i là hằng số với [/TEX]i= \overline{0,n}[/TEX])
chọn x=1 [TEX] \Rightarrow n.2^{n-1}=C_n^1+C_n^2+C_n^3+........+nC_n^n[/TEX]
-Áp dụng cho bài toán:
ta có: [TEX]VT=(1+C_n^1+C_n^2+......+C_n^n)+(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+......+nC_n^n) =2^n+n.2^{n-1}=2^n(1+ \frac{n}{2})[/TEX]
[TEX]VP=2^{12}(1+ \frac{n}{2}) [/TEX]
[TEX] VT=VP \Rightarrow n=12[/TEX]
-số hạng tổng quát của khai triển [TEX](x+3)^{12} : T_{k+1}=C_{12}^k.x^{12-k}.3^k[/TEX].
-số hạng chứa [TEX]x^8 \Rightarrow k=4[/TEX]
vậy hệ số của [TEX]x^8 [/TEX] là [/TEX]C_{12}^3.3^4=40095[/TEX]

 

[kino_123]

ta xét khai triển sau:
[TEX](a+b)^n=a^nC_n^0+a^{n-1}C_n^1b+a^{n-2}C_n^2b^2+.......+a^0C_n^nb^n (1)[/TEX]
-chọn a=b=1: [TEX](1) \Rightarrow 2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+......+C_n^n[/TEX]
-chọn a=1, b=x: [TEX](1) \Rightarrow (1+x)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+x^3C_n^3+......+x^nC_n^n[/TEX]
đạo hàm 2 vế, ta được: [TEX]n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2xC_n^2+3x^2C_n^3+......+nx^{n-1}C_n^n[/TEX] (vì C_n^i là hằng số với [/TEX]i= \overline{0,n}[/TEX])
chọn x=1 [TEX] \Rightarrow n.2^{n-1}=C_n^1+C_n^2+C_n^3+........+nC_n^n[/TEX]
-Áp dụng cho bài toán:
ta có: [TEX]VT=(1+C_n^1+C_n^2+......+C_n^n)+(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+......+nC_n^n) =2^n+n.2^{n-1}=2^n(1+ \frac{n}{2})[/TEX]
[TEX]VP=2^{12}(1+ \frac{n}{2}) [/TEX]
[TEX] VT=VP \Rightarrow n=12[/TEX]
-số hạng tổng quát của khai triển [TEX](x+3)^{12} : T_{k+1}=C_{12}^k.x^{12-k}.3^k[/TEX].
-số hạng chứa [TEX]x^8 \Rightarrow k=4[/TEX]
vậy hệ số của [TEX]x^8 [/TEX] là [/TEX]C_{12}^3.3^4=40095[/TEX] [/TEX]