Tìm gtnn

[khocviem1802]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x, y, z >0 1/x +1/y + 1/z =1:
(x^8+y^8+z^8)/ x^3.y^3.z^3

 

[ductri_uv]

Co sy

Ta có:
2*([tex]\frac{x^5}{y^3z^3}[/tex])+3*([tex]\frac{y^5}{x^3z^3}[/tex])+3*([tex]\frac{z^5}{x^3y^3}[/tex])[tex]\geq8*(sqrt[8]{\frac{x^10*y^15*z^15}{x^18*y^15*z^15}}[/tex])=8*([tex]\frac{1}{x}[/tex])
Tương tự ta cũng có:
2*([tex]\frac{y^5}{z^3x^3}[/tex])+3*([tex]\frac{z^5}{y^3z^3}[/tex])+3*([tex]\frac{x^5}{y^3z^3}[/tex])\geq8*([tex]\frac{1}{y}[/tex])
2*([tex]\frac{z^5}{x^3y^3}[/tex])+3*([tex]\frac{x^5}{z^3x^3}[/tex])+3*([tex]\frac{y^5}{z^3x^3}[/tex])\geq8*([tex]\frac{1}{z}[/tex])
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta được:
8*([tex]\frac{x^5}{y^3z^3}[/tex]+[tex]\frac{y^5}{x^3z^3}[/tex]+[tex]\frac{z^5}{x^3y^3}[/tex])\geq8*([tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}[/tex])
\Leftrightarrow[tex]\frac{x^5}{y^3z^3}[/tex]+[tex]\frac{y^5}{x^3z^3}[/tex]+[tex]\frac{z^5}{x^3y^3}[/tex]\geq([tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex]=1
Quy đồng lên ta được điều cần tìm
Vậy min P =1 \Leftrightarrowx=y=z=3

 

[boyzxcvjkl]

cách khác:ta có thể áp dụng BĐT cosi 3 lần từng đôi một

 

[namhv]

Cho x ; y > 0 Thỏa mãn đk x+ y\leq1.Tìm GTNN

P = \frac{1}{x2+ y2}+\frac{1}{xy}+xy

 

[duynhan1]

Cho x ; y > 0 Thỏa mãn đk [TEX]x+ y\leq1[/TEX].Tìm GTNN

[TEX]P = \frac{1}{x2+ y2}+\frac{1}{xy}+xy[/TEX]

[TEX]P= (\frac{1}{x^2+y^2} + \frac{1}{2xy})+(\frac{1}{16xy} +xy) +\frac{7}{16xy}[/TEX]

[TEX]P\geq \frac{4}{(x+y)^2} + \frac{1}{2} + \frac{7}{4(x+y)^2}[/TEX]

[TEX]P\geq 4 + \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = 6\frac{1}{4}[/TEX]