Cho a,b > 0 thỏa mãn [tex]a^{2}+2b=12[/tex] . Tìm GTNN của [tex]P = \frac{4}{a^{4}}+\frac{4}{b^{4}}+\frac{5}{8(a-b)^{2}}[/tex]
Mọi người giúp mình bài này với ạ. Mình đọc mà không biết cách làm
(
[tex]P = \frac{4}{a^{4}}+\frac{4}{b^{4}}+\frac{5}{8(a-b)^{2}}\\ =\frac{4}{a^2b^2}[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2]+\frac{5}{8ab}. \frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}[/tex]
Có [tex]12=a^{2}+2b=(a-2)^2+2(\sqrt{2a}-\sqrt{b})^2+4\sqrt{2ab}\geq 4\sqrt{2ab}\\ \Rightarrow 8\geq ab( > 0)[/tex]
[tex]\Rightarrow P=\frac{4}{a^2b^2}[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2]+\frac{5}{8ab}.\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}\geq \frac{1}{16}[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2]+\frac{5}{64}.\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}[/tex]
Đặt [tex]x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq^{AM-GM} 2[/tex]
[tex]\Rightarrow P\geq \frac{1}{16}(x^2-2)+\frac{5}{64(x-2)}=f(x)[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{16}.2x+\frac{5}{64}.\frac{-1}{(x-2)^2}[/tex]
Xét [tex]f'(x)=0\Rightarrow \frac{1}{16}.2x+\frac{5}{64}.\frac{-1}{(x-2)^2}=0\\ \Rightarrow x=\frac{5}{2}[/tex] (vì $x \ge 2$)
Có BBT:
$
\begin{array}{c|ccccc}
x & 2 & & 5/2 & \\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
f(x) & & & & & +\infty \\
& & \searrow & & \nearrow & \\
& & & 27/64 & &
\end{array}
$
[tex]\Rightarrow P\geq f(x)\geq \frac{27}{64}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=2;b=4$
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
