Toán 9 Tìm GTNN

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]P=\frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^{2}}{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}[/tex] với [tex]a,b>0; a\neq b[/tex] thỏa mãn [tex]4a+b+\sqrt{ab}=1[/tex]. Tìm GTNN của P.
Em xin cảm ơn!

 

[Cute Boy]

Cho [tex]P=\frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^{2}}{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}[/tex] với [tex]a,b>0; a\neq b[/tex] thỏa mãn [tex]4a+b+\sqrt{ab}=1[/tex]. Tìm GTNN của P.
Em xin cảm ơn!

[tex]P=\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}.\frac{(b-a)^2}{a^2b^2}}{\frac{a}{b}(\frac{a}{b}-1)+\frac{b}{a}(\frac{b}{a}-1)}[/tex][tex]=\frac{\frac{(a^2+ab+b^2)(a-b)^2}{a^3b^3}}{(a-b)(\frac{a}{b^2}-\frac{b}{a^2})}[/tex][tex]=\frac{\frac{(a^2+ab+b^2)(a-b)^2}{a^3b^3}}{\frac{(a^2+ab+b^2)(a-b)^2}{a^2b^2}}[/tex][tex]=\frac{1}{ab}[/tex]
Ta có [tex]4a+b+\sqrt{ab}\geq 4\sqrt{ab}+\sqrt{ab}=5\sqrt{ab}[/tex]
Suy ra [tex]1\geq 5\sqrt{ab}=>\frac{1}{\sqrt{ab}}\geq 5[/tex]
[tex]=>P\geq 25[/tex]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 4a=b