Đặt [tex]x+\sqrt{3+x^{2}}=t(t>0)\Rightarrow x=\frac{t^2-3}{2t}[/tex]
[tex]\Rightarrow y+\sqrt{3+y^{2}}=\frac{9}{t}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y\leq \frac{9}{t}\\ y=\frac{81-3t^2}{18t} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow x+y=\frac{t^2-3}{2t}+\frac{81-3t^2}{18t}=\frac{6t^2+54}{18t}=\frac{t^2+9}{3t}\geq \frac{2\sqrt{9t^2}}{3t}=2[/tex]
Mình không nhìn rõ lắm là ^2 hay ^3 nên chứng minh cả luôn nhé
[tex]\cdot x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\geq \frac{3}{4}(2)^2=3[/tex]
Dấu = khi x=y=1
[tex]\cdot x^3+xy+y^3=x^3+x+y^3+y+xy-(x+y)\geq 2x^2+2y^2+xy-(x+y)=x^2+y^2+xy+x^2+y^2-(x+y)\geq 3+x^2+y^2-(x+y)\geq 3+\frac{(x+y)^2}{2}-(x+y)=3+\frac{(x+y)(x+y-2)}{2}\geq 3+\frac{(2)(2-2)}{2}=3[/tex]
Dấu = khi x=y=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
