Toán 9 tìm GTNN

[0848410123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z dương thỏa mãn [tex]\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}= 1[/tex]. tìm GTNN của
P=[tex]\frac{y^{2}z^{2}}{x\left ( y^{2}+z^{2} \right )}+\frac{z^{2}x^{2}}{y\left ( z^{2}+x^{2} \right )}+\frac{x^{2}y^{2}}{z\left ( x^{2}+y^{2} \right )}[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex]P=\frac{y^{2}z^{2}}{x\left ( y^{2}+z^{2} \right )}+\frac{z^{2}x^{2}}{y\left ( z^{2}+x^{2} \right )}+\frac{x^{2}y^{2}}{z\left ( x^{2}+y^{2} \right )}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}}+\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}[/tex]
Đặt [tex](\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=(a,b,c)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=3[/tex]
Ta thấy: [tex]\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{1-a^2}=\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{(1-a^2)(1-a^2).2a^2}}\geq \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{(\frac{1-a^2+1-a^2+2a^2}{3})^3}}=\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{8}{27}}}=\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/tex]
Tương tự cộng vế theo vế ta có: [tex]P\geq \frac{3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay x = y = z.